逆元原理詳解

逆元的定義

逆元 (Inverse element) 就是在 mod 意義下，不能直接除以一個數，而要乘以它的逆元。

比如 a ∗ b ≡ 1 (mod p)，那麼 a，b 互爲模 p 意義下的逆元，比如你要算 x / a % p，就可以改成 x * b % p 。

求逆元有很多方法，請看下面！

方法一：費馬小定理 / 歐拉定理

費馬小定理： 若 p 爲素數，則有 $a^{p−1}≡1\ (mod\ p)$
即 $a^{p−2}\ ∗\ a≡1\ (mod\ p)$
則 $a^{p−2}$ 就是 a 在 mod p 意義下的逆元

歐拉定理： 若 a、p 互素，則有 $a^{φ(p)}≡1(mod\ p)$ （費馬小定理的一般形式）
得 $a^{φ(p)-1}\ ∗\ a≡1\ (mod\ p)$
故 $a^{φ(p)-1}$ 就是 a 在 mod p意義下的逆元

性能分析： $O(log\ mod)$
適用範圍：一般在 mod 是個素數的時候用，比擴展歐幾里得方法快一點而且好寫。

Code：

ll q_pow(ll a,ll b,ll mod){
    ll ans=1,res=a%mod;
    while(b){
        if(b&1)    ans=ans*res%mod;
        res=res*res%mod;
        b>>=1;
    }
    return ans%mod;
}
ll inv(ll a,ll mod){
    return q_pow(a,mod-2,mod)%mod;
}

經典例題

例題1：http://poj.org/problem?id=1845

題意： 給定兩個正整數 A 和 B ，求 $A^B$ 的所有因子和對9901取餘後的值。

例題2： https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=2186

題意： 求 1 到 N! 中與 M! 互質的數的個數，其中 M <= N 。

例題3： http://codeforces.com/contest/964/problem/C

題意：

例題4： https://ac.nowcoder.com/acm/contest/3005/C

思路： 這裏用尺取法 + 逆元來做。l 代表左端點，r 代表右端點。l 先不動，r 往前掃描，如果成功掃到，有 k 個非0元素的子段就累乘起來，最後把最左端的元素除了（用乘法逆元，否則會出現除以 0 的異常），左端點往前移動，l++，再繼續掃描。在未達到 k 個非零元素的子段前，如果遇到 0，當前的區間重置 ,左端點直接到 0 的下一個位置繼續掃描。

#include <iostream>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=2e5+100;
const ll mod=998244353;
int n,k;
ll a[N];
ll q_pow(ll a,ll b){
    ll ans=1,res=a%mod;
    while(b){
        if(b&1)    ans=ans*res%mod;
        res=res*res%mod;
        b>>=1;
    }
    return ans%mod;
}
ll inv(ll a,ll mod){
    return q_pow(a,mod-2)%mod;
}
int main(){
    cin>>n>>k;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        cin>>a[i];
    int l=1,r=1;
    ll mul=1,ans=0;
    while(r<=n){
        if(a[r]){
            mul=mul*a[r]%mod;
            if(r-l+1==k){
                ans=max(ans,mul);
                mul=mul*inv(a[l],mod)%mod;
                l++;
            }
        }
        else{
            mul=1;
            l=r+1;
        }
        r++;
    }
    cout<<ans<<endl;
    return 0;
}