cf #616 (Div. 2) E. Prefix Enlightenment 拆點並查集

題目鏈接： http://codeforces.com/contest/1291/problem/E

題意：

你現在有一個 $n$ 位的 $01$ 串 $S$ ，和 $k$ 個集合，每個集合裏會有 ${1,2,3,4,.....,n}$ 中的若干個數字，並且保證每個數字只會在最多兩個集合中出現。

當你某次選擇某一個集合 $x$ 時，串 $S$ 中這個集合中的所有數字所在的位置都會翻轉（ $0→1,1→0$）。現在讓你找出將串中第 $1$ 位至第 $i$ 位都翻轉爲 $1$ 的最少選擇的集合數是多少，對 $i$ 從 $1-n$ 的答案均輸出，保證答案一定有解。

做法：

因爲 $n$ 的範圍很大所以只能使用 $nlog n$ 的做法，也是參考了別人的代碼後自己理解着寫的。

用的是所謂的拆點並查集的方法，我們先對於同一個位置 $x$ 來進行討論

如果它是 $0$
沒有集合擁有位置 $x$ 的情況不存在。
有一個集合 $A$ 擁有位置 $x$ 時，這個集合一定要被強制選擇。
有兩個集合 $A,B$ 擁有位置 $x$ 時，這兩個集合中一定要有一個要被選擇。

如果它是 $1$
沒有集合擁有位置 $x$ ，則可以不用看它。
有一個集合 $A$ 擁有位置 $x$ 時，這個集合一定要被強制不能選擇。
有兩個集合 $A,B$ 擁有位置 $x$ 時，這兩個集合要麼都要選，要麼都不選。

然後，我們可以將每個集合拆成兩個點，分別爲選，和不選。在上面的討論中，我們就可以將每次的情況進行處理，但是好像強制選擇或者不選擇比較難處理，所以加了一個超級點（即結果很大的一定不會被選擇的情況）。

#include <bits/stdc++.h>
#define rep(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++)
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn=600005;
int n,k,a[maxn],fa[maxn],val[maxn],big;
vector<int> ve[maxn];
int fin(int x){
    return fa[x]==x?x:fa[x]=fin(fa[x]);
}
int uni(int x,int y){
    int fx=fin(x),fy=fin(y);
    if(fx!=fy) fa[fx]=fy,val[fy]+=val[fx];
}
int gmin(int x){
    return min(val[fin(x)],val[fin(x+k)]);
}
int main() {
    scanf("%d%d",&n,&k);
    rep(i,1,n) scanf("%1d",&a[i]);
    rep(i,1,k){
        int x,y; scanf("%d",&x);
        while(x--) scanf("%d",&y),ve[y].push_back(i);
    }
    //1-n表示不取 n+1-2*n表示要取
    rep(i,1,2*k+1) fa[i]=i,val[i]=(i<=k);
    big=2*k+1;
    val[big]=(int)1e9;
    int ans=0;
    rep(i,1,n){
        if(ve[i].size()==1){
            // 如果a[i]爲0則強制要取該集合爲1
            int tmp=ve[i][0]+k*(a[i]==0);
            ans-=gmin(ve[i][0]);
            uni(tmp,big);
            ans+=gmin(ve[i][0]);
        }
        else if(ve[i].size()==2){
            int x=ve[i][0],y=ve[i][1];
            if(a[i]==0&&fin(x)!=fin(y+k)){
                ans=ans-gmin(x)-gmin(y);
                uni(x,y+k),uni(y,x+k);
                ans+=gmin(x);
            }
            if(a[i]==1&&fin(x)!=fin(y)){
                ans=ans-gmin(x)-gmin(y);
                uni(x,y),uni(x+k,y+k);
                ans+=gmin(x);
            }
        }
        printf("%d\n",ans);
    }

    return 0;
}