cf #616 (Div. 2) E. Prefix Enlightenment 拆点并查集

题目链接： http://codeforces.com/contest/1291/problem/E

题意：

你现在有一个 $n$ 位的 $01$ 串 $S$ ，和 $k$ 个集合，每个集合里会有 ${1,2,3,4,.....,n}$ 中的若干个数字，并且保证每个数字只会在最多两个集合中出现。

当你某次选择某一个集合 $x$ 时，串 $S$ 中这个集合中的所有数字所在的位置都会翻转（ $0→1,1→0$）。现在让你找出将串中第 $1$ 位至第 $i$ 位都翻转为 $1$ 的最少选择的集合数是多少，对 $i$ 从 $1-n$ 的答案均输出，保证答案一定有解。

做法：

因为 $n$ 的范围很大所以只能使用 $nlog n$ 的做法，也是参考了别人的代码后自己理解着写的。

用的是所谓的拆点并查集的方法，我们先对于同一个位置 $x$ 来进行讨论

如果它是 $0$
没有集合拥有位置 $x$ 的情况不存在。
有一个集合 $A$ 拥有位置 $x$ 时，这个集合一定要被强制选择。
有两个集合 $A,B$ 拥有位置 $x$ 时，这两个集合中一定要有一个要被选择。

如果它是 $1$
没有集合拥有位置 $x$ ，则可以不用看它。
有一个集合 $A$ 拥有位置 $x$ 时，这个集合一定要被强制不能选择。
有两个集合 $A,B$ 拥有位置 $x$ 时，这两个集合要么都要选，要么都不选。

然后，我们可以将每个集合拆成两个点，分别为选，和不选。在上面的讨论中，我们就可以将每次的情况进行处理，但是好像强制选择或者不选择比较难处理，所以加了一个超级点（即结果很大的一定不会被选择的情况）。

#include <bits/stdc++.h>
#define rep(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++)
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn=600005;
int n,k,a[maxn],fa[maxn],val[maxn],big;
vector<int> ve[maxn];
int fin(int x){
    return fa[x]==x?x:fa[x]=fin(fa[x]);
}
int uni(int x,int y){
    int fx=fin(x),fy=fin(y);
    if(fx!=fy) fa[fx]=fy,val[fy]+=val[fx];
}
int gmin(int x){
    return min(val[fin(x)],val[fin(x+k)]);
}
int main() {
    scanf("%d%d",&n,&k);
    rep(i,1,n) scanf("%1d",&a[i]);
    rep(i,1,k){
        int x,y; scanf("%d",&x);
        while(x--) scanf("%d",&y),ve[y].push_back(i);
    }
    //1-n表示不取 n+1-2*n表示要取
    rep(i,1,2*k+1) fa[i]=i,val[i]=(i<=k);
    big=2*k+1;
    val[big]=(int)1e9;
    int ans=0;
    rep(i,1,n){
        if(ve[i].size()==1){
            // 如果a[i]为0则强制要取该集合为1
            int tmp=ve[i][0]+k*(a[i]==0);
            ans-=gmin(ve[i][0]);
            uni(tmp,big);
            ans+=gmin(ve[i][0]);
        }
        else if(ve[i].size()==2){
            int x=ve[i][0],y=ve[i][1];
            if(a[i]==0&&fin(x)!=fin(y+k)){
                ans=ans-gmin(x)-gmin(y);
                uni(x,y+k),uni(y,x+k);
                ans+=gmin(x);
            }
            if(a[i]==1&&fin(x)!=fin(y)){
                ans=ans-gmin(x)-gmin(y);
                uni(x,y),uni(x+k,y+k);
                ans+=gmin(x);
            }
        }
        printf("%d\n",ans);
    }

    return 0;
}