LeetCode198.打家劫舍（動態規劃）JS 上原題 分析 遞歸寫法 回溯寫法

上原題

https://leetcode-cn.com/problems/house-robber/

分析

假設給定數組[4, 1, 1, 9, 1]，求不相鄰的幾個數的最大和。

1. 假設只有一個元素，只能選該元素，纔會最大
2. 假設有兩個元素，要選擇下標0和1中，較大的那個
3. 假設有3個元素，兩種情況
   3.1 選擇第三個，意味着不能選第二個，sum=arr[2]+arr[0]=5
   3.2 不選擇第三個，那麼最大值就是第二個元素的最大值，sum=4=arr[0]
   3.3 這裏引出了最優子結構的概念。在這裏可以解釋爲：當我求第三個元素的最優值時，我要用到前邊第二個元素的最優值和前邊第一個元素的最優值。
   4 。。。。。。依次求

由此我們可以得到一個公式：

由此推出我們的遞歸寫法如下：

遞歸寫法

let arr = [1, 2, 4, 1, 7, 8, 23, 9, 4, 22]
function recOpt(arr, i) {
  if (i === 0) {
    return arr[0]
  } else if (i === 1) {
    return Math.max(arr[0], arr[1])
  } else {
    let A = recOpt(arr, i - 1)
    let B = recOpt(arr, i - 2) + arr[i]
    return Math.max(A, B)
  }
}
console.log(recOpt(arr, arr.length - 1))  // 57

回溯寫法

遞歸的寫法，是從頂往底開始計算的，遇到很多重疊子問題，計算機都需要重新計算，這樣就很消耗性能。時間複雜度達到了0(n²)

用動態規劃的思想，從最小的開始，每次保留該元素前邊一個和前邊的前邊一個的最優值。

function dpOpt(arr) {
  let len = arr.length
  if (len === 0) {
    return 0
  }
  if (len === 1) {
    return arr[0]
  }

  let preOne = Math.max(arr[0], arr[1])
  let preTwo = arr[0]
  let res = 0

  for (let lastIndex = 2; lastIndex < len; lastIndex++) {
    res = Math.max(preTwo + arr[lastIndex], preOne)
    preTwo = preOne
    preOne = res
  }
  return res
}

• lastIndex表示：目前在第幾位上，比如目前在第10位上，lastIndex=10
• preOne：目前元素的前邊一個元素 opt(9)，也就是不偷當前這家
• preTwo：目前元素的前邊兩個元素 opt(8)，也就是投當前這家
• res：目前這個元素上的最優解，也就是opt(lastIndex)