《動手學深度學習》多層感知機

隱藏層

多層感知機含有一個隱藏層，

以下是一種含單隱藏層的多層感知機的設計，其輸出$\boldsymbol{O} \in \mathbb{R}^{n \times q}$的公式爲：

$\begin{aligned} \boldsymbol{H} &= \boldsymbol{X} \boldsymbol{W}_h + \boldsymbol{b}_h,\\ \boldsymbol{O} &= \boldsymbol{H} \boldsymbol{W}_o + \boldsymbol{b}_o, \end{aligned}$

將以上兩個式子聯立起來，可以得到

$\boldsymbol{O} = (\boldsymbol{X} \boldsymbol{W}_h + \boldsymbol{b}_h)\boldsymbol{W}_o + \boldsymbol{b}_o = \boldsymbol{X} \boldsymbol{W}_h\boldsymbol{W}_o + \boldsymbol{b}_h \boldsymbol{W}_o + \boldsymbol{b}_o.$

雖然神經網絡引入了隱藏層，卻依然等價於一個單層神經網絡：其中輸出層權重參數爲$\boldsymbol{W}_h\boldsymbol{W}_o$，偏差參數爲$\boldsymbol{b}_h \boldsymbol{W}_o + \boldsymbol{b}_o$。不難發現，即便再添加更多的隱藏層，以上設計依然只能與僅含輸出層的單層神經網絡等價。

解決辦法是引入非線性變換，也叫激活函數。

激活函數

ReLU函數

ReLU（rectified linear unit）函數提供了一個很簡單的非線性變換。給定元素$x$，該函數定義爲

$\text{ReLU}(x) = \max(x, 0).$

可以看出，ReLU函數只保留正數元素，並將負數元素清零。

Sigmoid函數

sigmoid函數可以將元素的值變換到0和1之間：

$\text{sigmoid}(x) = \frac{1}{1 + \exp(-x)}.$

tanh函數

tanh（雙曲正切）函數可以將元素的值變換到-1和1之間：

$\text{tanh}(x) = \frac{1 - \exp(-2x)}{1 + \exp(-2x)}.$

關於激活函數的選擇

ReLu函數是一個通用的激活函數，目前在大多數情況下使用。但是，ReLU函數只能在隱藏層中使用。

用於分類器時，sigmoid函數及其組合通常效果更好。由於梯度消失問題，有時要避免使用sigmoid和tanh函數。

在神經網絡層數較多的時候，最好使用ReLu函數，ReLu函數比較簡單計算量少，而sigmoid和tanh函數計算量大很多。

在選擇激活函數的時候可以先選用ReLu函數如果效果不理想可以嘗試其他激活函數。

加上激活函數之後，我們的多層感知機公式爲
$\begin{aligned} \boldsymbol{H} &= \phi(\boldsymbol{X} \boldsymbol{W}_h + \boldsymbol{b}_h),\\ \boldsymbol{O} &= \boldsymbol{H} \boldsymbol{W}_o + \boldsymbol{b}_o, \end{aligned}$

其中$\phi$表示激活函數。

多層感知機pytorch實現

import torch
from torch import nn
from torch.nn import init
import numpy as np
import sys

num_inputs, num_outputs, num_hiddens = 784, 10, 256

# 網絡結構
net = nn.Sequential(
        d2l.FlattenLayer(),  # 圖片數據轉爲一維
        nn.Linear(num_inputs, num_hiddens),  # 線性模型
        nn.ReLU(),  # 激活函數
        nn.Linear(num_hiddens, num_outputs), # 線性模型
        )
    
for params in net.parameters():
    init.normal_(params, mean=0, std=0.01)  # 初始化參數

batch_size = 256
train_iter, test_iter = d2l.load_data_fashion_mnist(batch_size,root='/home/kesci/input/FashionMNIST2065')
loss = torch.nn.CrossEntropyLoss()  # 損失函數

optimizer = torch.optim.SGD(net.parameters(), lr=0.5)  # 梯度下降

num_epochs = 5
d2l.train_ch3(net, train_iter, test_iter, loss, num_epochs, batch_size, None, None, optimizer)