圖解高等數學系列是以動圖的形式將的數學知識點展示出來. 希望該系列能夠幫助同學們更快, 更加深地理解某些較爲相關的概念.
因爲本人水平有限, 疏忽錯誤在所難免, 所以還請各位老師和朋友不吝賜教, 多提寶貴意見, 幫助我改進這個系列, 先感謝感謝啦!
上一次提到過向量是指一個既有方向(direction)又有大小(magnitue)的量, 這次看看向量的點積, 叉積和三重積.
向量的點積(Dot Product)
點積 (dot product; scalar product, 也稱爲數量積). a.b = |a| |b| cos(θ)
點積其中一個非常實用之處可以判斷兩個向量的方向及角度:
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如果點積返回結果的值爲正數, 說明這兩個向量指向同一個方向.
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如果返回結果的值爲 0, 這兩個向量互相垂直.
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如果返回的結果爲負數, 說明這兩法向量指向完全相反的方向.
如果我們寫成 |b| (|a| cos(θ)) 的形式, 可以理解點積的另一個幾何意義, 向量 a 在 b 方向的投影, 再乘以 b 的長度, 或者換個角度來看也成, 從下圖可以理解:
利用點積還可以求點到平面的距離, 點在平面上, 向量與平面平行問題, 這些等到平面時候再進行演示.
向量的叉積(Cross Product)
叉積的結果是一個新的向量, 這個新向量與前面兩個向量垂直, 這在計算法線向量時非常有用. 另外新向量的長度是 |a×b|=|a| |b| sinθ , 在這裏θ表示兩向量之間的夾角, 0° ≤ θ ≤ 180° .
它的幾何意義就是由向量 a 和 b 定義的平行四邊形的面積, 其方向滿足右手規則. 當然如果在求空間中給出三點組成三角形的面積也可以用叉積來算出.
向量的三重積(Triple Product)
三重積, 又稱混合積, 是三個向量相乘的結果, 就是三個向量中的一個和另兩個向量的叉積相乘得到點積.
參照叉乘的幾何意義, 三重積其實就是由三個向量爲棱的平行六面體的體積.
此外, 三重積也等於其三個向量組成行列式的值, 可以在 Wolfram 語言中驗證 Dot[u, Cross[v, w]] ⩵Det[{u, v, w}]