「樹狀數組」第 2 節：理解預處理數組 C

「樹狀數組」第 2 節：理解預處理數組 C

我們看看樹狀數組長什麼樣。

樹狀數組的樣子

例 5

我們以一個有 8 個元素的數組 A 爲例（如上圖），在數組 A 之上建立一個數組 C，使得數組 C 的形成如上的一個多叉樹形狀，數組 C 就形成了一個樹狀數組的結構。以下是兩點說明：

• 樹狀數組要建成動態的樹形結構嗎？

  • 不用。學習過堆、線段樹的朋友一定知道，使用數組就能方便地索引左右孩子結點、雙親結點（因爲規律特別容易找到），這樣的樹就不必創建成結點、指針那樣的動態樹形結構。

• 如何解釋「前綴和」查詢和「單點更新」操作？

  • 如果要查詢「前綴和(4)」，本來應該查 A1、A2、A3、A4，然後把它們相加；
  • 有了數組 C 之後，我們只要問 C4 即可；
  • 我們要更新結點 A1 的值，只要自底向上更新 C1、C2、C4、C8 的值即可。

我們構建好數組 C 以後，就完全可以拋棄數組 A 了。

理解數組 C 的定義

• 首先我們強調一點，樹狀數組的下標從 $1$ 開始，下標 $0$ 號我們不用，這一點我們看到後面就會明白。我們先了解如下的定義，請大家一定先記住這些記號所代表的含義：

  • 數組 C 是一個對原始數組 A 的預處理數組。

• 我們還要熟悉幾個記號。爲了方便說明，避免後面行文囉嗦，我們將固定使用記號 $i$ 、$j$ 、 $k$，它們的定義如下：

  • 記號 $i$ ：表示預處理數組 $C$ 的索引（十進制表示）；
  • 記號 $j$ ：表示原始數組 $A$ 的索引（十進制表示）。

我們通過以下的圖，來看看 C1、C2、C3、C4、C5、C6、C7、C8 分別是如何定義的。

上面的過程我們用如下的表來表示。

數組 C 的下標與數組 A 的下標的關係

• 偉大的計算機科學家注意到上表中標註了數組 C 中的元素來自數組 A 的元素個數，它們的規律如下：
  • 將數組 C 的下標 $i$ 表示成二進制，從右向左數，遇到 $1$ 則停止，數出 $0$ 的個數記爲 $k$，則 $2^k$的值 就是「數組 C 中的元素來自數組 A 的個數」，並且可以具體得到來自數組 A 的表示，即從當前下標 $i$ 開始，從右向前數出 $2^k$ 個數組 A 中的元素的和，即組成了 C[i]。

下面具體說明。

• 記號 $k$ ：將 $i$ 的二進制表示從右向左數出的 $0$ 的個數，遇到 $1$ 則停止，記爲 $k$。 我們只對數組 $C$ 的索引 $i$ 進行這個計算，數組 $A$ 的索引 $j$ 不進行相應的計算；
• 這裏理解 $k$ 是如何得到的是重點。

下面我們通過兩個例子進行說明。

例 6

當 $i = 5$ 時，計算 $k$。

• 分析：因爲 $5$ 的二進制表示是 $0000\;0101$，從右邊向左邊數，第 $1$ 個是 $1$ ，因此 $0$ 的個數是 $0$，此時 $k=0$ 。

例 7

當 $i = 8$ 時，計算 $k$。

分析：因爲 $8$ 的二進制表示是 $0000\;1000$，從右邊向左邊數遇到 $1$ 之前，遇到了 $3$ 個 $0$，此時 $k$ = 3。 計算出 $k$ 以後，$2^k$ 立馬得到，爲此我們可以畫出如下表格：

我們看到 $2^k$ 是我們最終想要的。