「树状数组」第 2 节：理解预处理数组 C

「树状数组」第 2 节：理解预处理数组 C

我们看看树状数组长什么样。

树状数组的样子

例 5

我们以一个有 8 个元素的数组 A 为例（如上图），在数组 A 之上建立一个数组 C，使得数组 C 的形成如上的一个多叉树形状，数组 C 就形成了一个树状数组的结构。以下是两点说明：

• 树状数组要建成动态的树形结构吗？

  • 不用。学习过堆、线段树的朋友一定知道，使用数组就能方便地索引左右孩子结点、双亲结点（因为规律特别容易找到），这样的树就不必创建成结点、指针那样的动态树形结构。

• 如何解释「前缀和」查询和「单点更新」操作？

  • 如果要查询「前缀和(4)」，本来应该查 A1、A2、A3、A4，然后把它们相加；
  • 有了数组 C 之后，我们只要问 C4 即可；
  • 我们要更新结点 A1 的值，只要自底向上更新 C1、C2、C4、C8 的值即可。

我们构建好数组 C 以后，就完全可以抛弃数组 A 了。

理解数组 C 的定义

• 首先我们强调一点，树状数组的下标从 $1$ 开始，下标 $0$ 号我们不用，这一点我们看到后面就会明白。我们先了解如下的定义，请大家一定先记住这些记号所代表的含义：

  • 数组 C 是一个对原始数组 A 的预处理数组。

• 我们还要熟悉几个记号。为了方便说明，避免后面行文啰嗦，我们将固定使用记号 $i$ 、$j$ 、 $k$，它们的定义如下：

  • 记号 $i$ ：表示预处理数组 $C$ 的索引（十进制表示）；
  • 记号 $j$ ：表示原始数组 $A$ 的索引（十进制表示）。

我们通过以下的图，来看看 C1、C2、C3、C4、C5、C6、C7、C8 分别是如何定义的。

上面的过程我们用如下的表来表示。

数组 C 的下标与数组 A 的下标的关系

• 伟大的计算机科学家注意到上表中标注了数组 C 中的元素来自数组 A 的元素个数，它们的规律如下：
  • 将数组 C 的下标 $i$ 表示成二进制，从右向左数，遇到 $1$ 则停止，数出 $0$ 的个数记为 $k$，则 $2^k$的值 就是「数组 C 中的元素来自数组 A 的个数」，并且可以具体得到来自数组 A 的表示，即从当前下标 $i$ 开始，从右向前数出 $2^k$ 个数组 A 中的元素的和，即组成了 C[i]。

下面具体说明。

• 记号 $k$ ：将 $i$ 的二进制表示从右向左数出的 $0$ 的个数，遇到 $1$ 则停止，记为 $k$。 我们只对数组 $C$ 的索引 $i$ 进行这个计算，数组 $A$ 的索引 $j$ 不进行相应的计算；
• 这里理解 $k$ 是如何得到的是重点。

下面我们通过两个例子进行说明。

例 6

当 $i = 5$ 时，计算 $k$。

• 分析：因为 $5$ 的二进制表示是 $0000\;0101$，从右边向左边数，第 $1$ 个是 $1$ ，因此 $0$ 的个数是 $0$，此时 $k=0$ 。

例 7

当 $i = 8$ 时，计算 $k$。

分析：因为 $8$ 的二进制表示是 $0000\;1000$，从右边向左边数遇到 $1$ 之前，遇到了 $3$ 个 $0$，此时 $k$ = 3。 计算出 $k$ 以后，$2^k$ 立马得到，为此我们可以画出如下表格：

我们看到 $2^k$ 是我们最终想要的。