多层感知机、常见激活函数

3.8 多层感知机

xiaoyao 动手学深度学习 tensorflow2

前面学习了线性回归和softmax回归在内的单层神经网络。然而深度学习主要关注多层模型。在本节中，将学习多层感知机（multilayer perceptron，MLP）。

3.8.1 隐藏层

多层感知机在单层神经网络的基础上引入了一个或多个隐藏层（hidden layer).隐藏层位于输入层和输出层之间。

如下图所示：

上图所示的多层感知机中，输入和输出个数分别为4和3，中间的隐藏层中包含了5个隐藏单元（hidden unit）。由于输入层不涉及计算，图中的多层感知机的层数为2。由图可见，隐藏层中的神经元和输入层中各个输入完全连接，输出层中的神经元和隐藏层中的各个神经元也完全连接。因此，多层感知机中的隐藏层和输出层都是全连接层。

具体来说，给定一个小批量样本$\boldsymbol{X} \in \mathbb{R}^{n \times d}$，其批量大小为$n$，输入个数为$d$。假设多层感知机只有一个隐藏层，其中隐藏单元个数为$h$。记隐藏层的输出（也称为隐藏层变量或隐藏变量）为$\boldsymbol{H}$，有$\boldsymbol{H} \in \mathbb{R}^{n \times h}$。因为隐藏层和输出层均是全连接层，可以设隐藏层的权重参数和偏差参数分别为$\boldsymbol{W}_h \in \mathbb{R}^{d \times h}$和 $\boldsymbol{b}_h \in \mathbb{R}^{1 \times h}$，输出层的权重和偏差参数分别为$\boldsymbol{W}_o \in \mathbb{R}^{h \times q}$和$\boldsymbol{b}_o \in \mathbb{R}^{1 \times q}$。

先来看一种含单隐藏层的多层感知机的设计。其输出$\boldsymbol{O} \in \mathbb{R}^{n \times q}$的计算为

$\begin{aligned} \boldsymbol{H} &= \boldsymbol{X} \boldsymbol{W}_h + \boldsymbol{b}_h,\\ \boldsymbol{O} &= \boldsymbol{H} \boldsymbol{W}_o + \boldsymbol{b}_o, \end{aligned}\tag{式1}$

也就是将隐藏层的输出直接作为输出层的输入。如果将以上两个式子联立起来，可以得到

$\boldsymbol{O} = (\boldsymbol{X} \boldsymbol{W}_h + \boldsymbol{b}_h)\boldsymbol{W}_o + \boldsymbol{b}_o = \boldsymbol{X} \boldsymbol{W}_h\boldsymbol{W}_o + \boldsymbol{b}_h \boldsymbol{W}_o + \boldsymbol{b}_o.\tag{式2}$

从联立后的式子可以看出，虽然神经网络引入了隐藏层，却依然等价于一个单层神经网络：其中输出层权重参数为$\boldsymbol{W}_h\boldsymbol{W}_o$，偏差参数为$\boldsymbol{b}_h \boldsymbol{W}_o + \boldsymbol{b}_o$。不难发现，即便再添加更多的隐藏层，以上设计依然只能与仅含输出层的单层神经网络等价。

3.8.2 激活函数

上述问题的根源在于全连接层只是对数据做仿射变换（affine transformation），而多个仿射变换的叠加仍然是一个仿射变换。解决问题的一个方法是引入非线性变换，例如对隐藏变量使用按元素运算的非线性函数进行变换，然后再作为下一个全连接层的输入。这个非线性函数被称为激活函数（activation function）。下面介绍几个常用的激活函数。

3.8.2.1 ReLU函数

ReLU（rectified linear unit）函数提供了一个很简单的非线性变换。
给定元素xx，该函数定义为
$ReLU(x)=max(x,0).\tag{式3}$
可以看出，ReLU函数只保留正数元素，并将负数元素清零。为了直观地观察这一非线性变换，我们先定义一个绘图函数xyplot。

import tensorflow as tf
from matplotlib import pyplot as plt
import numpy as np
import random
%matplotlib inline

def use_svg_display():
    # 用矢量图显示
    %config InlineBackend.figure_format = 'svg'

def set_figsize(figsize=(3.5, 2.5)):
    use_svg_display()
    # 设置图的尺寸
    plt.rcParams['figure.figsize'] = figsize

def xyplot(x_vals, y_vals, name):
    set_figsize(figsize=(5, 2.5))
    plt.plot(x_vals.numpy(), y_vals.numpy())
    plt.xlabel('x')
    plt.ylabel(name + '(x)')

接下来通过Tensor提供的relu函数来绘制ReLU函数。可以看到，该激活函数是一个两段线性函数。

x = tf.Variable(tf.range(-8,8,0.1),dtype=tf.float32)
y = tf.nn.relu(x)
xyplot(x, y, 'relu')

显然，当输入为负数时，ReLU函数的导数为0；当输入为正数时，ReLU函数的导数为1。尽管输入为0时ReLU函数不可导，但是我们可以取此处的导数为0。下面绘制ReLU函数的导数。

with tf.GradientTape() as t:
    t.watch(x)
    y = tf.nn.relu(x)
dy_dx = t.gradient(y, x)
xyplot(x, dy_dx, 'grad of relu')

3.8.2.2 sigmoid函数

sigmoid函数可以将元素的值变换到0和1之间：
$\text{sigmoid}(x) = \frac{1}{1 + \exp(-x)}.\tag{式4}$

sigmoid函数在早期的神经网络中较为普遍，但它目前逐渐被更简单的ReLU函数取代。在后面“循环神经网络”中会介绍如何利用它值域在0到1之间这一特性来控制信息在神经网络中的流动。下面绘制了sigmoid函数。当输入接近0时，sigmoid函数接近线性变换。

# x

y = tf.nn.sigmoid(x)
xyplot(x, y, 'sigmoid')

据链式法则，sigmoid函数的导数

$sigmoid'(x)=sigmoid(x)(1−sigmoid(x))\tag{式5}$
下面绘制了sigmoid函数的导数。当输入为0时，sigmoid函数的导数达到最大值0.25；当输入越偏离0时，sigmoid函数的导数越接近0。

with tf.GradientTape() as t:
    t.watch(x)
    y = tf.nn.sigmoid(x)
dy_dx = t.gradient(y, x)
xyplot(x, dy_dx, 'grad of sigmoid')

3.8.2.3 tanh函数

tanh（双曲正切）函数可以将元素的值变换到-1和1之间：

定义如下：

$\text{tanh}(x) = \frac{1 - \exp(-2x)}{1 + \exp(-2x)}.\tag{式6}$
.
绘制tanh函数。当输入接近0时，tanh函数接近线性变换。虽然该函数的形状和sigmoid函数的形状很像，但tanh函数在座标系的原点上对称。

y = tf.nn.tanh(x)
xyplot(x, y, 'tanh')

依据链式法则，tanh函数的导数
$tanh′(x)=1−tanh^2 (x).\tag{式7}$

下面绘制了tanh函数的导数。当输入为0时，tanh函数的导数达到最大值1；当输入越偏离0时，tanh函数的导数越接近0。

with tf.GradientTape() as t:
    t.watch(x)
    y = tf.nn.tanh(x)
dy_dx = t.gradient(y, x)
xyplot(x, dy_dx, 'grad of tanh')

3.8.3 多层感知机

多层感知机就是含有至少一个隐藏层的由全连接层组成的神经网络，且每个隐藏层的输出通过激活函数进行变换。多层感知机的层数和各隐藏层中隐藏单元个数都是超参数。以单隐藏层为例并沿用本节之前定义的符号，多层感知机按以下方式计算输出：
$\begin{aligned} \boldsymbol{H} &= \phi(\boldsymbol{X} \boldsymbol{W}_h + \boldsymbol{b}_h),\\\boldsymbol{O} &= \boldsymbol{H} \boldsymbol{W}_o + \boldsymbol{b}_o, \end{aligned}\tag{式8}$

其中$\phi$表示激活函数。在分类问题中，我们可以对输出O做softmax运算，并使用softmax回归中的交叉熵损失函数。 在回归问题中，我们将输出层的输出个数设为1，并将输出O直接提供给线性回归中使用的平方损失函数。

• 小结
  多层感知机在输出层与输入层之间加入了一个或多个全连接隐藏层，并通过激活函数对隐藏层输出进行变换。
  常用的激活函数包括ReLU函数、sigmoid函数和tanh函数。