MATLAB之牛頓插值法

一、算法原理

1、問題引入

上一篇博客我們介紹了拉格朗日插值法，我們現在來回顧其定義：

對於插值區間【a，b】上一系列插值節點x0,x1,x2,......xn及其函數值y0、y1、y2......yn；構造一個簡單的簡單易算的近似函數g(x)≈f(x)，滿足條件g(xi)=f(xi) (i=0,1,2...,n)。

其拉格朗日插值多項式的形式爲：

g(x)=L0(x0)*y0+L1(x1)*y1+......+Ln(xn)*yn,

其中Li(xi）=[(x-x0)*(x-x1)*......*(x-x(i-1))*(x-x(i+1))*.....*(x-xn)]  /  [(xi-x0)*(xi-x1)*......*(xi-x(i-1))*(xi-x(i+1))*.....*(xi-xn)]。

優點：具有嚴格的規律性,便於記憶。  

缺點：計算量大、不具有承襲性。

2、牛頓插值法

Lagrange 插值雖然易算，但若要增加一個節點時， 全部基函數Li(x) 都需要重新計算。能否改寫其形式，使其每增加一個點，只附加一項（重新計算一項）。

設Nn(x)=A0+A1*(X-X0)+A2*(X-X0)(X-X1)+......+An(X-X0)*(X-X1)......(X-X(n-1))

利用Nn(xi)=f(xi)，寫成矩陣形式:

1            0                  ......                              0                       [A0       [f(x0)

1         x1-x0               ......                              0                        A1        f(x1)

1         x2-x0   (x2-x0) (x2-x1） ......               0                   *  ......  =   ......

...          ...                                                                               ......       ......

...          ...         ...                                                                   ......       ......

1         xn-x0   (xn-x0) (xn-x1） ......  (xn-x0)*...(xn-x(n-1))      An]       f(xn)]

根據該線形方程組可以求得：A0=f(x0),A1=[f(x1)-f(x0)]/[x1-x0],

A2={[f(x2)-f(x0)]/[x2-x0]-f(x1)-f(x0)]/[x1-x0]} / (x2-x1)

 

 

3差商的定義

設已知函數f (x)在一系列互不相等的節點x0,x1,x2,......xn，(即在i≠j時，xi≠xj)上的函數值 f(xi) ,

f (x)在點xi , xj處的一階差商爲：

f (x)在點xi,xj,xk處的二階差商爲：

f(x)在點x0,x1,x2,......xk的k階差商爲：   

規律總結：高階差商是兩個低一階差商的差商。

利用差商的定義,可得Nn(x)的係數Aj :

從而可得牛頓插值多項式：

這樣就實現了，每增加一個節點，多項式只增加一項，克服了拉格朗日插值多項式的缺點。

差商可以通過差商表計算。

4、牛頓插值多項式

瞭解了差商，我們就可以利用差商來表示牛頓插值多項式：

二、matlab程序

%% 牛頓插值 (創建函數腳本方可運行)
close
clc
clear
x=[2 3 5 6 9];
y=[4 8 12 15 23];
m=length(X);
c=cha(X,Y);
syms x
for i=1:m-1
    D1=x-X(1:i);
    D(i)=prod(D1);
end

N=sym2poly(expand(sum(D.*c)+Y(1)))
x=X(1):0.1:X(end);
y=polyval(N,x);
plot(x,y)
hold on
plot(X,Y,'o')
function C=cha(X,Y)
% C存儲差商結果
% X是橫座標

m=length(X);
d=diff(Y)./diff(X);  %一階差商
C(1)=d(1);   %取出第一個一階差商做係數

for i=2:m-1  %i階差商 依次算出C(2)、C(3)...C(m-1)階茶商 ，儲存在數組C中
    X1=X(i+1:end); 
    n=length(X1);
    X2=X(1:n);
    d=diff(d)./(X1-X2);
    C(i)=d(1);    
end
end