回溯法
在瞭解八皇后問題之前我們先了解什麼是回溯法，因爲八皇后問題是回溯法的一個經典算法習題，也是八皇后問題用到的主要算法。
根據百度百科解釋：回溯法（探索與回溯法）是一種選優搜索法，又稱爲試探法，按選優條件向前搜索，以達到目標。但當探索到某一步時，發現原先選擇並不優或達不到目標，就退回一步重新選擇，這種走不通就退回再走的技術爲回溯法，而滿足回溯條件的某個狀態的點稱爲“回溯點”。
舉個集合小例子：列舉集合 {1,2,3} 中所有子集的問題
使用回溯法。從集合的開頭元素開始，對每個元素都有兩種操作，直到集合最後一個元素。其中的每個操作都可以看作是一次嘗試，每次嘗試都可以得出一個結果。將得到的結果綜合起來，就是集合的所有子集。
回溯法和遞歸的聯繫：
遞歸是從問題的結果出發，例如求 n！，要想知道 n！的結果，就需要知道 n*(n-1)! 的結果，而要想知道 (n-1)! 結果，就需要提前知道 (n-1)*(n-2)!。這樣不斷地向自己提問，不斷地調用自己的思想就是遞歸。
回溯和遞歸唯一的聯繫就是，回溯法可以用遞歸思想實現
八皇后問題
八皇后問題是以國際象棋爲背景的問題：有八個皇后（可以當成八個棋子），如何在 8*8 的棋盤
中放置八個皇后，使得任意兩個皇后都不在同一條橫線、縱線或者斜線上。
算法思路：
- 從棋盤的第一行開始，從第一個位置開始，依次判斷當前位置是否能夠放置皇后。
判斷的依據爲：同該行之前的所有行中的皇后所在位置進行比較，如果在同一列，或者在同一條對角線上（正方形的兩條對角線），都不符合條件，繼續檢查後序位置； - 如果i該行所有位置都不符合要求，則回溯到前一行，改變皇后的位置，繼續i試探；
- 如果試探到最後一行，所有皇后位置擺放完畢，則直接打印出8*8棋盤。最後將棋盤恢復原樣，避免影響下一次擺放。
實現代碼：
代碼分爲三部分：
- conflict 函數，判斷下一行皇后位置是否與之前皇后的位置衝突
- queens函數，採用生成器的方式來產生每一個皇后的位置，並用遞歸思想實現回溯法計算出每一種結果的皇后的位置
- prettyprint函數，友好展示棋盤，畫出每一種結果的皇后的位置
def conflict(state, nextColumn):
"""
判斷是否衝突
因爲座標是從0開始的，所以state的長度代表了下一行的行座標
:param state:（7，4，6，0，2） 標記每行皇后所在的位置 （0，7）一行八列 （2，4） （3，6） （4，0） （5，2）
:param nextColumn:下一行的列座標
:return:
"""
nextRow = rows = len(state) # 5
for row in range(rows): # 0,1,2,3,4
# 獲取當前行的列
column = state[row]
"""
如何判斷是否衝突：
1. 如果列的差值爲0，說明兩皇后在同一列
2. 如果列的差值等於行的差值，說明兩皇后在對角線上
"""
if abs(column - nextColumn) in [0, nextRow - row]:
return True
return False
# 採用生成器的方式來產生每一個皇后的位置，並用遞歸來實現下一個皇后的位置
def queens(num, state=()):
"""
基於遞歸採用回溯算法，算出每一種結果
:param num: 皇后的數量 8
:param state: 列座標。初始爲空。參數爲元組不爲列表，因爲參數只能爲不可變數據類型
:return:
"""
# 每一行的列座標都是從0:7的
# 0,1,2,3,4,5,6,7
for pos in range(num):
# 默認state爲空。長度爲0，但是是不衝突的
# 判斷是否衝突，state爲空時不衝突
if not conflict(state, pos): # 回溯法的體現
# 如果state的長度爲7，即到達了倒數第二行，也就是前7行皇后都已經找到了位置，最後一行又沒有衝突，返回最後一行的列座標
if len(state) == num - 1:
# 最後一行的（pos,）=最後一行的result，然後再遞歸回去求倒數第二行的result
yield (pos,)
else:
for result in queens(num, state + (pos,)):
"""
遞歸實現求state：
1. 向下遞歸
第一次（行）： pos=0，剛開始不會進入if len(state) == num - 1，進入執行else，會執行queens(num, state + (pos, ))，
第二次（行）： 進入else，再調用queens(num, state + (pos, )),遞歸執行queens(num, state + (pos,) + (pos,))
第三次（行）： 進入else，再調用queens(num, state + (pos,) + (pos,),遞歸執行queens(num, state + (pos,) + (pos,) + (pos,))
...
第七次（行）： 執行和上面的一樣，不過此時state的長度爲7
第八次（行）： 執行f len(state) == num - 1:求出最後一行的列座標(pos,)
2.向上遞歸
求出第八行的列座標，就可以求出第七行的（pos,），返回的是第七行和第八行的列座標（（pos，） + result）
根據下一行的結果依次求出上一行的結果；
....
最後求出第一行的列座標，返回整體結果
"""
yield (pos,) + result
def prettyprint(solution):
"""
進行友好展示：爲了至關表現棋盤，用X表示皇后的位置
:param solution:
:return:
"""
def line(pos, length=len(solution)):
return '.' * (pos) + 'X' + '.' * (length - pos -1)
for pos in solution:
print(line(pos))
if __name__ == '__main__':
solutions = queens(8)
for index, solution in enumerate(solutions):
print('第%d種解決方案：' %(index + 1), solution )
prettyprint(solution)
print('*' * 50)
結果展示：
第1種解決方案： (0, 4, 7, 5, 2, 6, 1, 3)
X.......
....X...
.......X
.....X..
..X.....
......X.
.X......
...X....
**************************************************
第2種解決方案： (0, 5, 7, 2, 6, 3, 1, 4)
X.......
.....X..
.......X
..X.....
......X.
...X....
.X......
....X...
第91種解決方案： (7, 2, 0, 5, 1, 4, 6, 3)
.......X
..X.....
X.......
.....X..
.X......
....X...
......X.
...X....
**************************************************
第92種解決方案： (7, 3, 0, 2, 5, 1, 6, 4)
.......X
...X....
X.......
..X.....
.....X..
.X......
......X.
....X...
**************************************************
