《算法》筆記 16 - 正則表達式

• 使用正則表達式描述模式
• 非確定有限狀態自動機NFA
• 模擬NFA的運行
  • NFA的表示
  • 構造與正則表達式相對應的NFA
  • NFA的模擬與可達性

除了查找子字符串，在很多時候並不知道被查找模式的完整信息，這時就需要用到正則表達式了。正則表達式在子字符串查找、合法性校驗、網絡爬蟲等方面有着非常廣泛的應用。

使用正則表達式描述模式

正則表達式對模式的描述，基於幾個基本操作。

• 連接操作，比如AB，表示由A和B連接而成的模式。
• 或操作，或操作可以在模式中指定多種可能的匹配，用"|"表示。
• 閉包操作，閉包操作可以把模式部分重複任意次數，用"*"表示。
• 括號，括號可以改變默認優先級的順序。
• 在編程語言中使用的正則表達式還有很多其它語法，但都是基於這幾種基本操作的。

非確定有限狀態自動機

如何根據正則表達式所描述的模式來匹配文本呢？子字符串查找中使用的有序狀態自動機DFA會根據文本中的字符改變自身的狀態，但正則表達式匹配比子字符串查找更復雜。因爲或操作的存在，自動機無法僅根據一個字符就判斷出模式是否出現；再加上閉包的存在，自動機甚至無法知道需要檢查多少字符纔會匹配失敗。爲了克服這些困難，需要非確定有限狀態自動機NFA。

根據Kleene定理，任意正則表達式都存在一個與之對應的非確定有限狀態自動機，反之亦然。所以任意正則表達式都可以轉換爲一個非確定有限狀態自動機，然後就可以模式NFA的運行軌跡來進行匹配了。

正則表達式((A*B|AC)D)所對應的NFA如下圖：

NFA具有以下特點：

• 長度爲M的正則表達式中的每個字符在所對應的NFA中都有且只有一個對應的狀態。NFA的起始狀態爲0並含有一個虛擬的接受狀態M；
• 字符表中的字符所對應的狀態都有一條從它指出的邊，這條邊指向模式中的下一個字符所對應的狀態（這種邊爲黑色）；
• 元字符"(" “)” “|” "*"所對應的狀態至少含有一條指出的邊（這種邊爲紅色），這些邊可能指向其它的任意狀態；
• 有些狀態有多條指出的邊，但一個狀態只能有一條指出的黑色邊。

這裏約定將所有的模式都包含在括號中，一次NFA中的第一個狀態和最後一個狀態都對應的是括號。

在檢查文本與模式是否匹配時，NFA需要不斷讀取文本，直到NFA變爲接受狀態，或到達文本末尾。由於或操作和閉包操作的存在，NFA從一個狀態轉換到了一個狀態的規則與DFA有所不同，在NFA中有兩種轉換方式：

• 匹配轉換，即文本中的某個字符與模式中的一個字符相對應，此時NFA可以掃過這個字符，並經過黑色的邊轉換到下一狀態；
• ε轉換，是指NFA經由紅色邊轉換到了一個狀態而不掃描文本中的任何字符。

比如在上圖的NFA中，由2->3, 1->6等都是ε轉換，ε轉換說明很多時候，NFA從一個狀態轉換到的下一個狀態是不確定的，比如從狀態3即可以到狀態4，也可以回到狀態2。正是由於這種不確定性的存在，NFA運行時，需要系統地嘗試過所有的可能性後，才能得知是否匹配成功。

模擬NFA的運行

使用NFA進行正則表達式匹配的過程與使用DFA進行子字符串查找的整體過程大致相同，也是先根據給定的正則表達式構造NFA，然後模擬NFA在給定文本上的運行軌跡。

NFA的表示

首先考慮的是該如何表示NFA。正則表達式本身已經給出了所有的狀態名，如果正則表達式的長度爲M，那麼0到M之間的整數就是所有的狀態名，於是用char數組re保存正則表達式的每個字符，對於匹配轉換，如果re[i]存在於字母表中，那麼就存在一個從i到i+1的匹配轉換。
對於ε轉換，用有向圖表示，它們都是連接0到M之間各個頂點的有向邊。

構造與正則表達式相對應的NFA

在表示NFA的時候會使用一個char數組，一個有向圖，另外還有一個棧來記錄所有左括號和或操作符的位置。

• 連接操作
  連接操作的實現很容易，狀態的匹配之後和字母表中字符的對應關係就是連接操作的實現。

• 括號
  遇到正則表達式中的左括號時，將它的索引壓入棧中，在遇到右括號時，再從棧中彈出。

• 閉包操作
  閉包運算符’*‘如果出現在單個字符之後，就在這個字符和’*‘之間添加相互指向的兩條ε轉換；如果出現在右括號之後，就在對應的左括號和’*'之間添加相互指向的兩條ε轉換。

• 或操作
  遇到或操作也會添加兩條ε轉換，比如(A|B)，一條從左括號所對應的狀態指向或操作後面第一個字符B所對應的狀態，另一條從或操作符的狀態指向右括號對於的狀態。將"|"運算符的索引壓入棧中，這樣在到達右括號時從棧的頂部就可以拿到這個索引了。

public class Regular {
    private char[] re;
    private Digraph G;
    private int M;

    public Regular(String regexp) {
        Stack<Integer> ops = new Stack<Integer>();
        re = regexp.toCharArray();
        M = re.length;
        G = new Digraph(M + 1);

        for (int i = 0; i < M; i++) {
            int lp = i;
            if (re[i] == '(' || re[i] == '|')
                ops.push(i);
            else if (re[i] == ')') {
                int or = ops.pop();
                if (re[or] == '|') {
                    lp = ops.pop();
                    G.addEdge(lp, or + 1);
                    G.addEdge(or, i);
                } else
                    lp = or;
            }

            if (i < M - 1 && re[i + 1] == '*') {
                G.addEdge(lp, i + 1);
                G.addEdge(i + 1, lp);
            }

            if (re[i] == '(' || re[i] == '*' || re[i] == ')')
                G.addEdge(i, i + 1);
        }
    }
}

NFA的模擬與可達性

爲了模擬NFA的運行，會記錄NFA在檢查當前輸入字符時可能遇到的所有狀態的集合。這裏關鍵的計算是有向圖的多點可達性問題，用深度優先搜索實現。
首先利用有向圖查找所有從狀態0通過ε轉換可達的所有狀態，記入一個集合中，這個集合用Bag數據結構來表示。對於集合中的每個狀態，檢查它是否可以與第一個輸入的字符相匹配，如果匹配，在用這些匹配的狀態集合繼續在有向圖中進行查找，就得到了NFA在匹配第一個字符後可達的所有狀態的集合。重複這個過程直到可達的狀態集合中含有接受狀態（匹配成功）或者文本結束（匹配失敗）。

public boolean recognize(String txt) {
    Bag<Integer> pc = new Bag<Integer>();
    DirectedDFS dfs = new DirectedDFS(G, 0);
    for (int v = 0; v < G.V(); v++) {
        if (dfs.marked(v))
            pc.add(v);
    }

    for (int i = 0; i < txt.length(); i++) {
        Bag<Integer> match = new Bag<Integer>();
        for (int v : pc)
            if (v < M)
                if (re[v] == txt.charAt(i) || re[v] == '.')
                    match.add(v + 1);
        pc = new Bag<Integer>();
        dfs = new DirectedDFS(G, match);
        for (int v = 0; v < G.V(); v++)
            if (dfs.marked(v))
                pc.add(v);
    }

    for (int v : pc)
        if (v == M)
            return true;
    return false;
}