至少需要多少顆衛星才能準確定位？

說到衛星定位系統，大家都會想到 GPS（Global Positioning System，全球定位系統）。GPS 是美國從上世紀 70 年代開始研製，歷時 20 年，耗資 200 億美元，於 1994 年全面建成，具有在海、陸、空進行全方位實時三維導航與定位能力的新一代衛星導航與定位系統。早期僅限於軍方使用，時至今日，GPS 早已開放給民間做爲定位使用，廣泛應用於資源勘查、航空、交通、災害現場等領域。

除了美國的 GPS 系統，世界上知名的衛星導航與定位系統還有：俄羅斯的 GLONASS、歐盟的 GALILEO 以及中國的北斗衛星導航系統（BDS）。

自1994年北斗一號系統工程立項至今，我國用26年的時間實現了59顆北斗衛星（包括55顆北斗導航衛星和4顆北斗導航試驗衛星）的發射。2020年6月23日，北斗三號最後一顆全球組網衛星在西昌衛星發射中心點火升空，隨着該星進入預定工作軌道，標誌着北斗三號全球衛星導航系統星座部署全面完成，北斗系統完整服務全球的目標指日可待。

北斗衛星導航系統包括三個階段：

• 第一階段，2000年年底，發射2顆北斗一號衛星，建成北斗一號系統，向中國提供服務；
• 第二階段，2007年-2012年，發射14顆北斗二號衛星，建成北斗二號系統，向亞太地區提供服務；
• 第三階段，計劃在2020年前後，發射30餘顆北斗三號衛星，建成北斗三號系統，即北斗全球系統，向全球提供服務。

那麼，問題來了！我們是怎麼通過衛星進行定位的呢？至少需要多少顆衛星才能準確定位呢？

下圖是衛星定位系統的結構示意圖，包括上空的若干顆衛星、地面的監控站以及需要定位的接收器（比如手機）。

• 導航衛星：發射出包含時刻信息（t）和軌道信息（x, y, z）的無線電波；
• 監控站：負責監測衛星狀態，確認衛星軌道並修正衛星時刻偏差；
• 接收器：接收衛星發射出來的無線電波。

要實現全球定位，需要至少24顆人造衛星，這些衛星無時無刻都圍繞着地球旋轉。實際上，爲了提高精確度和可靠性，無論是北斗還是 GPS、格洛納斯、伽利略導航系統都有超過24顆衛星。

那麼接收器需要同時接收多少顆衛星的信息才能計算出自身的定位信息呢？

假設接收器在 T 時刻接收到導航衛星 A 的位置信息 (Xa, Ya, Za) 和時刻信息 Ta，根據勾股定理，接收器到衛星 A 的距離 AO 與衛星 A 的位置之間的關係表示如下。
$AO^2 = {((T_a - T) \times c)}^2 = (X_a - X_o)^2 + (Y_a - Y_o)^2 + (Z_a - Z_o)^2$
其中，c 爲無線電波的傳播速度（光速：2.99792458 x 10⁸ m/s），T 爲接收器接收信號的時刻，(X_o, Y_o, Z_o) 爲接收器的座標位置，也就是我們需要求的值。

顯然，一個方程無法解出三個變量值，那怎麼辦？很簡單，再接收兩顆衛星 B 和 C 的信息，組成三個方程唄！
$AO^2 = {((T_a - T) \times c)}^2 = (X_a - X_o)^2 + (Y_a - Y_o)^2 + (Z_a - Z_o)^2$

$BO^2 = {((T_b - T) \times c)}^2 = (X_b - X_o)^2 + (Y_b - Y_o)^2 + (Z_b - Z_o)^2$

$CO^2 = {((T_c - T) \times c)}^2 = (X_c - X_o)^2 + (Y_c - Y_o)^2 + (Z_c - Z_o)^2$

實在太聰明啦，耶！

然而，這裏有個陷阱 —— 時刻的一致性問題！爲了讓上面三組方程成立，衛星的 Ta、Tb、Tc 以及接收器的 T 時刻需要以同一時鐘進行測算。由於導航衛星使用十分精密的原子鐘，並且由監控站進行修正，因此可認爲 Ta、Tb、Tc 時刻是一致的。但是接收器的時間就不一樣啦，只能標識接收器的時鐘上的某個時刻，這個時刻可能滯後，也可能超前，無法控制。

那怎麼辦吶？很簡單，把接收器的時鐘產生的誤差 $\delta$ 提前加入公式裏就好啦。也就是說，用 (T - $\delta$) 表示接收器接收到無線電波的準確時刻，多了一個變量，就再增加一組方程唄！

列出四個方程：
${((T_a - (T - \delta) \times c)}^2 = (X_a - X_o)^2 + (Y_a - Y_o)^2 + (Z_a - Z_o)^2$

${((T_b - (T - \delta) \times c)}^2 = (X_b - X_o)^2 + (Y_b - Y_o)^2 + (Z_b - Z_o)^2$

${((T_c - (T - \delta) \times c)}^2 = (X_c - X_o)^2 + (Y_c - Y_o)^2 + (Z_c - Z_o)^2$

${((T_d - (T - \delta) \times c)}^2 = (X_d - X_o)^2 + (Y_d - Y_o)^2 + (Z_d - Z_o)^2$

除了 X_o 、Y_o 、Z_o 三個未知數，還有時間誤差 $\delta$ 變量。因此，現實世界中至少需要4顆衛星才能計算出接收器的座標位置。你猜對了嗎？