UVa Problem Solution: 701 - The Archaeologist's Dilemma

Let P denotes the prefix, T denotes the # of lost digits. We are searching for N, that the prefix of 2^N is P.
We have an inequlity of
    P*10^T <= 2^N < (P+1)*10^T
thus
    log2(P*10^T) <= log2(2^N) < log2((P+1)*10^T),
which is
    log2(P)+T*log2(10) <= N < log2(P+1)+T*log2(10).
Also, we know that
    P < 10^(T-1),
that is
    T > log10(P)+1.
Then, we can brute force on T and find the minmum N.

Code:

1. /*************************************************************************
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3.  * liukaipeng at gmail dot com                                           *
4.  *************************************************************************/
6. /* @JUDGE_ID 00000 701 C++ "The Archaeologist's Dilemma" */
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21. #include <vector>
23. using namespace std;
25. /*
26.   Let P denotes the prefix, T denotes the # of lost digits. We are searching
27.   for N, that the prefix of 2^N is P. 
28.   We have an inequlity of
29.     P*10^T <= 2^N < (P+1)*10^T
30.   thus
31.     log2(P*10^T) <= log2(2^N) < log2((P+1)*10^T),
32.   which is
33.     log2(P)+T*log2(10) <= N < log2(P+1)+T*log2(10).
34.   Also, we know that
35.     P < 10^(T-1),
36.   that is
37.     T > log10(P)+1.
38.   Then, we can brute force on T and find the minmum N.
39.  */    
40. long double minexpof2with(long double prefix)
41. {
42.   long double lower = log2l(prefix);
43.   long double upper = log2l(prefix + 1);
44.   long double f = log2l(10);
45.   long double t = ceill(log10l(prefix+0.5)) + 1; // avoid log10l(1) == 0
46.   for (; ceill(lower+t*f) != floorl(upper+t*f); t += 1) {}
47.   return ceill(lower+t*f);
48. }
49.           
50. int main(int argc, char *argv[])
51. {
52. #ifndef ONLINE_JUDGE
53.   freopen((string(argv[0]) + ".in").c_str(), "r", stdin);
54.   freopen((string(argv[0]) + ".out").c_str(), "w", stdout);
55. #endif
57.   long double prefix;
58.   while (cin >> prefix)
59.     cout << (long long)minexpof2with(prefix) << '/n';
61.   return 0;
62. }
63.