如何理解最大子序列和的在線算法

目錄

 

（1）先給出在線算法的僞代碼

（2）疑問一：當子序列之和爲非正數時，爲何不能繼續使用該序列？

（3）疑問二：當子序列之和爲非正數時，爲何不從子序列中的任一元素開始往後掃描，而是從子序列之後的元素開始掃描？

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（1）先給出在線算法的僞代碼

僅針對至少含有一個正數的序列：

Solve_MaxSubSum(A, n):
    sum <- 0
    maxsum <- 0
    boundleft <- 0
    for i <- 0 to n-1 do
        sum <- sum + A[i]
        if sum <= 0 then
            sum <- 0
            boundleft <- i + 1
        else if sum > maxsum then
            maxsum <- sum
            boundright <- i

maxsum = A[boundleft] + ... + A[boundright]

接下來，用以下序列舉例說明在線算法的詳細步驟

可以看出，在線算法僅掃描一遍序列即可求得最大子序列；其高效的本質在於當子序列和爲非正數時，該序列要被棄掉而要從序列之後的元素開始往後掃描。

（2）疑問一：當子序列之和爲非正數時，爲何不能繼續使用該序列？

此問題比較簡單，反證法即可證明。假設此序列爲seqone，且作爲序列seqtwo的頭部序列。

由於seqone是seqtwo的頭部序列，seqtwo刪除seqone後不影響剩餘元素的連續性；

再由於seqone的序列和爲非正數，seqtwo刪除seqone後序列和一定不會減小，甚至可能增大；

因此對於seqtwo來說，seqone沒有保留的必要。

（3）疑問二：當子序列之和爲非正數時，爲何不從子序列中的任一元素開始往後掃描，而是從子序列之後的元素開始掃描？

要回答這個問題，我們截取算法步驟中的一部分來說明，假設算法從A[i]開始往後掃描，直到遇到A[k]，序列和才小於或等於0。

此時我們有以下條件：

條件（a）： 

條件（b）：

接下來，我們不遵循在線算法的步驟（從序列之後的元素開始掃描），而是任取位於和之間的某一元素開始往後掃描，假設此元素是：

可以證明 以爲首端且末端不超過的任一序列之和，一定小於當前最大子序列和。

假設這段序列是，那麼一定成立，否則，違反了條件（b）。

因此，，證畢。

換句話解釋這個結論，即當子序列之和爲非正數時，沒有必要再從子序列中的任一元素開始往後掃描。