【算法詳解】：Manacher

問題導入：

現在有一個長度$S$的字符串，現在需要求出這個字符串中的最大回文子串。

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算法舉例：

• 最樸素算法，枚舉迴文串的對稱中心，分別先左和向右擴展，依次更新最大值。算法複雜度$O(n^2)$。
• $Hash$+ 二分：計算字符串的前綴$Hash$值，枚舉中點，二分迴文字串的長度。算法複雜度$O(n log n)$。
• 迴文自動機，代碼複雜，思維難度大，算法複雜度$O(n)$。
• $Manacher$，代碼簡單，思維難度不高，算法複雜度$O(n)$。

顯然，$Manacher$是一種簡單有實惠的算法，現在來解釋一下這個算法。

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Manacher算法：

迴文串的對稱中心有奇有偶，判斷起來有點麻煩，這裏引入一個小技巧，在每個字符的左右都插入‘#’，
如$S="aabb "$，在插入字符後就變成了$S="$#$a$#$a$#$b$#$b$ $"$，可以在字符串的首尾加入$2$個奇怪的字符，以防數組越界。

我們還需要引入輔助數組$p[i]$，表示以$i$爲對稱中心的最長迴文串的半徑長度，例如下圖：

顯然可知，$max\{p[i]-1\}$就是這個字符串中的最大回文子串。因此$Manacher$算法的根本目的就是求出上述的所有$p[i]$。

我們使用$mx$表示當前的迴文子串的右邊界，$id$表示當前迴文子串的對稱中心，如圖：

如果$i<mx$，$j$爲$i$對於$id$的對稱點，$j\!=\!2*id-\!1$，因爲$id$到$mx$的子串等於$mx$的對稱點到$id$的子串，所以在$mx$的對稱點到$j$的最大回文長度就是$i$到$mx$的迴文長度，那麼$p[i]$的初始值就是$p[i]=min(p[j],mx-i)$。

如果$i>mx$，那麼說明在$i$沒有相應的對稱點，那麼$p[i]$的初始值就是$1$。

初始值確定後，就根據初始值向兩邊暴力比較擴展，且注意更新$id$和$mx$的值。

Manacher複雜度分析：

如果$i<mx$且$p[i]=p[j]$，那麼單次求解的時間複雜度爲$O(1)$。
反之，那麼一定迴向外擴展，就會使$mx$更新，使之增大，複雜度是$O(n)$的。

綜上所述，$Manacher$算法的複雜度是線性的。

代碼如下：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N = 31001000;
int n, m;
int p[N] = {}, tot = 0;
char s[N];

inline void input() {
	char ch = getchar();
	while (ch >= 'a' && ch <= 'z') 
		s[++ tot] = ch, s[++ tot] = '#', ch = getchar();
}

int main() {
	s[tot] = '$';
	s[++ tot] = '#'; 
	input();
	int ans = 0;
	int mx = 0, id = 0;
//	cout<<tot<<' ';
	for (int i=1;i<=tot;i++) {
		if (i < mx) p[i] = min(p[(id<<1)-i], mx-i);
			else p[i] = 1;
		while (s[i-p[i]] == s[i+p[i]]) p[i] ++;
		if (i + p[i] > mx) mx = i + p[i], id = i;
		ans = max(ans, p[i]);
	}
//	for (int i=0;i<=tot;i++) cout<<p[i]<<' ';
	printf("%d\n",ans-1);
	return 0;
} 

課後例題：

• $BZOJ2084$ $Antisymmetry$
  題解見 https://blog.csdn.net/zhuchangcheng1003/article/details/102165103