第三章一元积分学

第一节不定积分

原函数

若 $F{’}(x) = f(x)或dF(x) = f(x)dx$ ，则称 $F(x)为f(x)$ 的原函数

注：

（1） $若F(x)为f(x)的一个原函数，则F(x)+C$ 是 $f(x)的全体原函数$

（2） $若F(x)、Φ(x)都是f(x)的原函数，则F(x) -Φ(x) = C$

不定积分（不定：全体；积分：原函数）

$求f(x)$ 全体原函数 $F(x)+C$ 的过程，称为 $f(x)$ 的不定积分：记作

$\int f(x)dx = F(x)+C$

其中 $\int$ 为积分号， $f(x)$ 为被积函数， $x$ 为积分n变量， $F(x)为f(x)的一个原函数$

注：（------------------------------------重点重点--------------------------------------------------------）

（1） $\int f(□)d□ = F(□)+C$ ；注：d就是微分，微分就是求导，所以在在需要改变 $d(□)的值时$ ，需要注意。

（2） $不定积分结果要加C$

例题

解法：根据 $\int f(□)d□ = F(□)+C$ 式子，可以看出 $\int f(2x)dx$ 。这里面的 $f(□)跟d□中的□是不一样的$ 。所以我们要把他变为一样 $\int f(2x)d(2x)$ 。上面说了 $d$ 是微积分其实就是求导。所以可以看出 $原式dx的□求导是1，改了后d(2x)的□求导是2$ .所以要在前面加上 $\frac{1}{2}$ ，即是 $\frac{1}{2} \int f(2x)d(2x)$ 。最后变为 $\frac{1}{2}F(2x) + C$

不定积分的性质

$\int [f(x) \pm g(x)]dx = \int f(x) dx \pm \int g(x)dx$

$\int kf(x)dx = k\int f(x)dx$

积分与微积分的关系

$[\int f(x)dx]{’} = f(x); d[\int f(x)dx] = f(x)dx$

$\int f{’}dx = f(x) + C；\int df(x) = fx() + c$

注：

①、积分与微积分（求导）互为逆运算，相遇就抵消

②、最外层求什么，结果就带什么标志： $(){’}:无； d():dx； \int(): +C$

积分基本公式

例子1

分析，我们先化简为类型是一样的式子来，即是 $\frac{sin^2x + cos^2x}{sin^2x*cos^2x}$ 。然后再分开 $\frac{sin^2x}{sin^2x*cos^2x} + \frac{cos^2x}{sin^2x*cos^2x}$ ,化简 $\frac{1}{cos^2x} + \frac{1}{sin^2x}$ ，然后再化简 $sec^2x + csc^2x$ ，再化简 $tanx - cotx$ 。

三角函数：（次数降1，角度翻倍）

例子2

分析：一眼就可以看出，我们需要化简的是分子，但是 $cos2x$ 有三种表现形式，究竟用那种。这时候再看看分母就可以得出。应该这样化简 $\frac{cos^2x - sin^2x}{cosx - sinx}$ 化简为 $cosx + sinx$ 。所以 $……$

不定积分的计算

第一换元法（凑微分）微分->导数

（1） $\int f[\varphi (x)]\varphi ’(x)dx = \int f[\varphi (x)]d\varphi (x) = F[\varphi (x)]+C$

看简单的有没有复杂的某一部分导。若是有，那么简单的就是他的微了

（2）常用的凑微分

$①、dx = \frac{1}{a}d(ax) = \frac{1}{a}d(ax +b) ；$ $②、xdx = \frac{1}{2}d(x^2) ；$ $③、x^2dx = \frac{1}{3}d(x^3) ；$

$④、\frac{1}{1 + x^2}dx = d(arctanx) ；$ $⑤、\frac{1}{x}dx = d(ln|x|) ；$ $⑥、e^xdx = d(e^x)；$

$⑦、cosxdx = d(sinx)；$ $sinxdx = d(-cosx)；$

例一

分析： $\int cos2xdx = \frac{1}{2} \int cos{2x}d2x = \frac{1}{2} sin2x + C$

例二

分析：

$\int xcosx^2dx = \frac{1}{2} \int cosx^2dx^2 = \frac{1}{2} sinx^2 + C$

例三

分析：我们把复杂的求导，可以看出分母是比分子复杂的，而且分子也是分母求导后的一部分，所以： $\int\frac{x}{1+x^2} = \frac{1}{2} \int\frac{x}{1+x^2}d(1+x^2 ) =\frac{1}{2}ln(1 +x^2)+C$

例四

分析：是否能看成一个整体性很重要： $\int sin^2xcosxdx = \int sin^2x dsinx = \frac{1}{3}sin^3x +C$

例五

分析。。谁复杂，就谁是导的那个。。所以： $\int \frac{arc\tan x }{1+x^2}dx =\int arc\ tan x\ d(arc\ tanx) = \frac{1}{2}(arc\ tan^2x)+C$

例六

选D，分析：只有导数被积分了，才能得到原式排除AB，然后再简单计算一下，就可以得到选项D

有理分式积分

（1）分子次数 >= 分母次数 $\Rightarrow$ 对分子加减项（+1、-1）和分母相消。

例： $\int \frac{x^2}{x^2 + 1}dx$

（2）分子次数 <分母次数 $\Rightarrow$ 凑微分

例： $\int \frac{x + 1}{x^2 + 2x}dx$

例： $\int \frac{x+2}{x^2 + 2x + 2}\ dx$

= $\frac{1}{2} \int \frac{1}{x^2 +2x + 2}d(x^2+ 2x + 2) + \int \frac{1}{x^2 + 2x+2}dx =$ $\frac{1}{2} ln|x^2 + 2x + 2| + \int \frac{1}{(x+1)^2+1}d(x+1)$ = $\frac{1}{2} ln|x^2 + 2x + 2| + arc\ tan(x+1) +C$

（3）分母可因式分解

例1

$\int \frac{1}{x^2 - 4x + 3} dx = \int \frac{1}{(x-1)(x-3)} dx = \frac{1}{2} \int (\frac{1}{x-3} - \frac{1}{x-1} )dx = \frac{1}{2}(ln|x-3| - ln|x-1|) + C$ = ……

例2

= $5ln|x-2| - 3ln|x-1| + C$

例3

$\int \frac{x+3}{x^2 - 5x +6} dx = \int \frac{x+3}{(x-2)(x-3)} dx = \int (\frac{6}{x-3} - \frac{5}{x-2})dx =$

（4）分母不可因式分解（不能因式分解，就配方）

公式：

例题1： $\int \frac{1}{x^2 + 2x + 3} dx$

$\int \frac{1}{x^2 + 2x + 3} dx = \int \frac{1}{(x+1)^2 +2}dx = \int \frac{1}{(x+1)^2 +(\sqrt{x})^2 }dx = \frac{\sqrt{2} }{2}arc\ tan\frac{(x+1)}{\sqrt{2} } + C$

第二还换元法

（1）含有 $\sqrt{} 、e^x令\sqrt{}、e^x =t$

例子1

（2）含有两种或两种以上 $\sqrt[n1]{}、\sqrt[n2]{}$

方法：令 $x = t^n（其中n为n1、n2的最小公倍数）$

（3三角代换

$\sqrt{a^2 - x^2}:令x = asint$

$\sqrt{x^2 - a^2}:令x = asext$

$\sqrt{a^2 + x^2};令x = atant$

5、分部积分

公式： $\int\ u\ dv = uv - \int v\ du$

（1）步骤：①根据”反对幂三指“排序；②两边提取-调换位置

（2）适用：两类函数相乘 $\text{[math]}$

例题1： $\int x\ e^xdx$

解题：可以看出该式子，就是由”反对幂三指“这三种函数组成的式子。可以看出：幂函数”x“比指数函数” $e^2$ “更靠前。所以 $e^x$ 是被微的对象，变为： $\int x\ de^x$ 。既有 $\int x\ de^x = x\ e^x - \int e^x\ dx$ ……最后结果要加C

例题2： $\int xcosx\ dx$

解题：可以看出该式子，有幂函数” $x$ “，以及三角函数：“ $cos\ x$ ”。幂函数比三角函数排序靠前，所以就有了 $\int x\ d\ sinx$ ,所以然有了： $x\ sinx - \int sinx\ dx$ ,最后为……

例题3： $\int x\ arctanx\ dx$

解题，前面题步骤直接跳过， $\frac{1}{2}[x\ arctanx - \int x^2 d(arctanx)] = \frac{1}{2} [x\ arctanx - \int x^2*\frac{1}{1 + x^2}dx ] = \frac{1}{2} [x\ arctanx - \int \frac{1+ x^2 - 1}{1 + x^2} dx$ 到这.。差不多，主要想理解d后的微积分是为啥可以直接导出来。

例题4： $\int lnx\ dx$

思路：这个只有单个函数组成的式子，其实也可以变成两个函数组成的式子，只需添加 $x^0$ 一个。当然最后变式子也是原式，所以也可以直接进行到，式子套进去运算的那一步就可以对象了

定积分

一. 定积分的的有关概念。

1、定积分：求曲边梯形的面积

2、定积分的几何意义

3、定积分的存在定理

（1）若是 $f(x)$ 上连续， $\int_{a}^{b} f(x)dx$ 必存在。

（2）若 $f(x)$ 在[a, b]上有界，且只有有限个间断点，则 $\int_{a}^{b} f(x)dx$ 必存在

二. 定积分的性质

1、估值定理（求范围） ①若在[a, b]上， $m \leq f(x) \leq M；则有m(b-a) \leq \int f(x)dx \leq M(b- a)$

例题

解题思路：先找被积函数的范围即是f(x)的范围也就是所谓的高，然后再与长相乘，那就是整个定积分的范围了

2、积分中值定理（平均值定理）

条件：若f(x)在[a, b]上连续

结论： $\exists \delta \epsilon [a, b], 使得：\int_{a}^{b} f(x)dx = f(\delta )(a - b)$ 。固有： $f(\delta )= \frac{\int_{a}^{b} f(x)dx }{(a - b)}$

3、对称区间上的奇偶性（奇函数：原点对称；偶函数：y轴毒对称）

例题一： $\int_{-a}^{a}xe^{x^2} dx$

解析：此式子是奇*偶 = 奇，所以该式子是一个奇性，所以答案为0.

例题二： $\int_{-1}^{1}x \ |x|dx$

解析：此式子是奇*偶 = 奇，所以该式子是一个奇性，所以答案为0.

牛顿——莱布尼茨公式

$\int_{a}^{b} f(x)dx = F(x)|_{a}^b= F(b) - F(a)$

注意：

① f(x)在[a, b]上连续

② 定积分结果不用再加C

例子: $\int_{1}^{2}\frac{1}{ x}dx$

解题：

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三、定积分的计算

第一换元法(凑微分)

例题一： $\int_{0}^{\pi } \sin \frac{x}{2}dx$

解题思路：这边用到的是凑微分的方式 $\int_{0}^{\pi } \sin \frac{x}{2}dx = 2\int_{0}^{\pi } \sin \frac{x}{2}d\frac{x}{2}$

例题二

解题思路：我们可以看出 $\int_{0}^{4} f(\sqrt{x} )dx$ 是由 $\sqrt{x}$ 的，所以我们要考虑的是用到第二还原法。那么我们直接化简就可以化成 $\int_{2}^{0} xf(x)dx = 4$ 的形式。那么就可以看出最后的答案，得出最后的答案。。

例题三

解题思路：我们可以看出出题目的就是用了根号，所以我们使用第二换元法。

分部积分

公式： $\int\ u\ dv = uv - \int v\ du$

（1）步骤：①根据”反对幂三指“排序；②两边提取-调换位置，靠后的原函数要往后放。

（2）适用：两类函数相乘

例题一：

结论：我们可以看到这个式子也有包含根号，所以先用第二换元法，然后再用分部积分，求出结论。

含有绝对值、分段函数求定积分

技巧：根据积分的可加性。在f(x) = 0处断开，分成两个不同区间的定积分。

例题一： $\int_{0}^{4} |x - 2|dx$

解题思路：我们首先要先得到f(x) = 0处的x值是为2.然后分段，分成[0, 2], [2, 4]，然后再算算那个是负数。

例题二

解题思路：一般这种情况下，就先找到断点

例题三

解题思路：我们首先要先换元，把x-2换成t，注意是，定积分的范围也是要换的。然后找断点，显然，这里的断点是0。所以，我们就可以根据这样的式子，最后计算得出我们的结果了

含有定积分 $\int_{a}^{b} f(x)dx$ 的方程求 $\int_{a}^{b} f(x)dx$

步骤：

① $令\int_{a}^{b} dx = A;$

②两边同时取 $\int_{a}^{b}$ ，(注意新产生的A)

例题一

思路，我们先令 $\int_{0}^{2}f(x)dx$ = A，代入式子。再边都取 $\int_{a}^{b}$ ，。注意新产生的A

变限积分

1、变限积分： $\int_{\varphi _{1}(x) }^{\varphi _{2}(x)}f(t)dt$

2、求导公式： $[\int_{\varphi _{1}(x) }^{\varphi _{2}(x)}]^{’} = f(\varphi _{2}(x) )*\varphi _{2}^{’} - f(\varphi _{1}(x) )*\varphi _{1}^{’}$

3、常考： $[\int_{\varphi _{1}(x) }^{\varphi _{2}(x)}]^{’} = f(x)$

3、注意：常数的求导都等零（0）。适用于上下限有一个未知数，

变化： $\frac{dy}{dx} = y{’} \Rightarrow \frac{d□}{dx} = □{’}\Rightarrow \frac{d}{dx} □= □{’}$

例子一： $\frac{d}{dx} \int_{x^2}^{2019}sint\ dt$

解题思路：我们如此可见，这是让我们进行求导，然后我们套入公式得出答案，即可！

无穷区间上的广义积分

定义：上限或下限出现∞的积分

注：如果结果存在，则该积分收敛，否则发散

例题一： $\int_{0}^{+∞} e^{-x}dx$

解题技巧：我们首先可以看到这个出现了∞，所以这是求，无穷广义上的积分。，所以我们可以直接套入公式得出答案来，不过，我们首先要使用凑微分。

定积分的应用

求(封闭图形)平面图形的面积

例题一

解题思路，对于定积分的应用

第一步：我们先画出图形，根据关键点，交点来画图，并找出他们所围的封闭图形。

第二步：我们要判断，我们切割是水平切割，还是垂直切割。那个方便那个了来。根据我们例题的图形，我们要选择的是水平切割，垂直切割会出现转折点，会比较麻烦一点。

第三步：写出定积分式子： $\int_{2}^{4}(y+4 - \frac{y^2}{2} )dy$ 。这边我们要搞清楚在水平切割时，要分辨是谁再最右侧的，那么就是谁

求旋转体的体积

原理：根据圆柱体的体积来算，即是底面积乘高。所以定积分的形式也是相当于第，面积乘高

例题一：

解题思路：我们可以根据自己所画的图，可以看出他么出现了交点，也就是说有两部分，曲线所旋转的区域是不一样的。所以我们必须要分开来。

图形

根据图形所得式子： $\int_{0}^{1}πx^2dx + \int_{1}^{2} π(2-x)^2dx$

例题二

解题思路。画出我们的图形，根据图形我们可以看出，这个图形就是空心圆锥体。

例三

解题思路：我们也可以看得出，这个图形也是一个空心圆柱，我们要减去里面的空心部分

例题三

解题思路：这里由第一点不一样的就是，该x是趋向于+∞的。所以在写上下限的时候一定要不要弄错。

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求平面曲线的弧长

原理：这个借助了沟谷定理求出一小段的切线的距离(即弧长），然后我们通过无限的切割，足够细的时候，他们就说过相等的。

例题一

解题思路：我们可以看出这是求[0, 1]的弧长的距离，代入公式，就可以求出。

插本高数学习笔记：一元微积分学 第三章一元积分学 第一节 不定积分 定积分

第三章一元积分学

第一节 不定积分

原函数

不定积分（不定：全体；积分：原函数）

例题

不定积分的性质

积分与微积分的关系

积分基本公式

例子1

例子2

不定积分的计算

第一换元法（凑微分）微分->导数

（2）常用的凑微分

例一

例二

例三

例四

例五

例六

有理分式积分

（1）分子次数 >= 分母次数 对分子加减项（+1、-1）和分母相消。

（2）分子次数 <分母次数凑微分

（3）分母可因式分解

（4）分母不可因式分解（不能因式分解，就配方）

例题1：

第二还换元法

（1）含有

例子1

（2）含有两种或两种以上

（3三角代换

5、分部积分

例题1：

例题2：

例题3：

例题4：

定积分

一. 定积分的的有关概念。

1、定积分：求曲边梯形的面积

2、定积分的几何意义

3、定积分的存在定理

二. 定积分的性质

1、估值定理（求范围） ①若在[a, b]上，

例题

2、 积分中值定理（平均值定理）

3、对称区间上的奇偶性（奇函数：原点对称； 偶函数：y轴毒对称）

例题一：

例题二：

牛顿——莱布尼茨公式

注意：

例子:

三、定积分的计算

第一换元法(凑微分)

分部积分

含有绝对值、分段函数求定积分

含有定积分的方程求

例题一

变限积分

例子一：

无穷区间上的广义积分

例题一：

定积分的应用

求(封闭图形)平面图形的面积

例题一

求旋转体的体积

例题一：

图形

例题二

求平面曲线的弧长

插本高数学习笔记：一元微积分学第三章一元积分学第一节不定积分定积分

第一节不定积分

（1）分子次数 >= 分母次数 $\Rightarrow$ 对分子加减项（+1、-1）和分母相消。

（2）分子次数 <分母次数 $\Rightarrow$ 凑微分

例题1： $\int \frac{1}{x^2 + 2x + 3} dx$

（1）含有 $\sqrt{} 、e^x令\sqrt{}、e^x =t$

（2）含有两种或两种以上 $\sqrt[n1]{}、\sqrt[n2]{}$

例题1： $\int x\ e^xdx$

例题2： $\int xcosx\ dx$

例题3： $\int x\ arctanx\ dx$

例题4： $\int lnx\ dx$

1、估值定理（求范围） ①若在[a, b]上， $m \leq f(x) \leq M；则有m(b-a) \leq \int f(x)dx \leq M(b- a)$

2、积分中值定理（平均值定理）

3、对称区间上的奇偶性（奇函数：原点对称；偶函数：y轴毒对称）

例题一： $\int_{-a}^{a}xe^{x^2} dx$

例题二： $\int_{-1}^{1}x \ |x|dx$

例子: $\int_{1}^{2}\frac{1}{ x}dx$

含有定积分 $\int_{a}^{b} f(x)dx$ 的方程求 $\int_{a}^{b} f(x)dx$

例子一： $\frac{d}{dx} \int_{x^2}^{2019}sint\ dt$

例题一： $\int_{0}^{+∞} e^{-x}dx$