取餘證明

$(a+b)\%mod=(a\%mod+b)\%mod=(a\%mod+b\%mod)\%mod$

計算加法時，每相加一次執行一次$\%mod$
假設$a=a_1*mod+a_2$以及$b=b_1*mod+b_2$
$(a+b)\%mod=(a_1*mod+a_2+b_1*mod+b_2)\%mod=(a_2+b_1*mod+b_2)\%mod=(a_2+b_2)\%mod$

$(a*b)\%mod=(a\%mod*b)\%mod=(a\%mod*b\%mod)\%mod$

計算乘法時，每相乘一次執行一次$\%mod$
假設$a=a_1*mod+a_2$以及$b=b_1*mod+b_2$
$(a*b)=(a_1*mod+a_2)*(b_1*mod+b_2)=(a_1*b_1*mod^2+a_1*b_2*mod+a_2*b_1*mod+a_2*b_2)$
$(a*b)\%mod=(a_1*b_1*mod^2+a_1*b_2*mod+a_2*b_1*mod+a_2*b_2)\%mod=(a_2*(b_1*m+b_2))\%mod=(a_2*b_2)\%mod$

$(a-b)\%mod=(((a-b)\%mod)+mod)\%mod$