ElGamal公鑰密碼算法及ElGamal數字簽名方案實現

ElGamal公鑰密碼算法是在密碼協議中有着重要應用的一類公鑰密碼算法，其安全性是基於有限域上離散對數學問題的難解性。它至今仍是一個安全性良好的公鑰密碼算法。它既可用於加密又可用於數字簽名的公鑰密碼體制。

 

一、ElGamal公鑰密碼算法描述

1. 選取一個大素數p，使離散對數問題在有限域GF(p)上是難解的，選取g∈Z是一個本原元。

2. 隨機選取整數x，1≤x≤p-2,計算y=g^x(mod p); y是公開的加密密鑰，而x是保密的脫密密鑰。

3. 明文空間爲Z，密文空間爲Z×Z。

4. 加密變換：對任意明文m∈Z，祕密地隨機選取一個整數k，1≤k≤p-2，於是可得密文爲：

c=(c1,c2)

其中

c1=g^k(mod p) , c2=my^k(mod p)

5. 脫密變換：對任意密文c=(c1,c2)∈Z×Z，明文爲：

m=c2×(c1^x)^-1(mod p)

證明：

c2×(c1^x)^-1(mod p)=my^k(g^(kx))^-1 (mod p)

=mg^kx × g^(-kx) (mod p)=m (mod p)

二、ElGamal數字簽名方案

1. 生成乘法羣Z中的一個生成元g，p,g公開。

2. 隨機選取整數x，1≤x≤p-2,計算y=g^x(mod p)，y是公開密鑰，而x是保密密鑰。

3. 簽名算法：設m∈Z是待簽名的消息，祕密隨機選取一個整數k，1≤k≤p-2，且(k,p-1)=1，計算

r=g^k(mod p)

s=k^-1(m-rx)(mod p-1)

則(m,r,s)爲對消息m的數字簽名。

4. 驗證算法：對方收到對消息m的數字簽名(m,r,s)後，利用簽名者的公開密鑰y,g,p可對簽名進行以下驗證：

(y^r)(r^s)=g^m(mod p)

如果上式成立，則接受該簽名，否則拒絕該簽名。

對m正確簽名，那麼有：

(y^r)(r^s)(mod p)=g^(rx+sk)(mod p)

=g^(rx+m-rx)(mod p)

=g^m (mod p)

 

三、ElGamal數字簽名方案實現

爲簡化問題，我們取p=19,g=2,私鑰x=9,則公鑰y=29 mod 19=18。C++代碼實現如下：

 

 

BigInt.h

#ifndef BIGINT_H_INCLUDED
#define BIGINT_H_INCLUDED
#include <iostream>
#include <string>
#include <cstdlib>
#include <algorithm>//reverse函數所需添加的頭文件
using namespace std;
/*
大整數類
*/
class BigInt
{
private:
    inline int compare(string s1, string s2)
    {
        if(s1.size() < s2.size())
            return -1;
        else if(s1.size() > s2.size())
            return 1;
        else
            return s1.compare(s2);
    }
public:
    bool flag;//true表示正數，false表示負數，0默認爲正數
    string values;//保存所有位上的數字
    BigInt():values("0"),flag(true){};//構造函數
    BigInt(string str)//類型轉換構造函數(默認爲正整數)
    {
        values = str;
        flag = true;
    }
public:
    friend ostream& operator << (ostream& os, const BigInt& bigInt);//重載輸出操作符
    friend istream& operator>>(istream& is, BigInt& bigInt);//輸入操作符重載
    BigInt operator+(const BigInt& rhs);//加法操作重載
    BigInt operator-(const BigInt& rhs);//減法操作重載
    BigInt operator*(const BigInt& rhs);//乘法操作重載
    BigInt operator/(const BigInt& rhs);//除法操作重載
    BigInt operator%(const BigInt& rhs);//求餘操作重載
};
/*
重載流提取運算符'>>'，輸出一個整數
*/
ostream& operator << (ostream& os, const BigInt& bigInt)
{
    if (!bigInt.flag)
    {
        os << '-';
    }
    os << bigInt.values;
    return os;
}
/*
重載流插入運算符'>>'，輸入一個正整數
*/
istream& operator >> (istream& is, BigInt& bigInt)
{
    string str;
    is >> str;
    bigInt.values = str;
    bigInt.flag = true;
    return is;
}
/*
兩個正整數相加
*/
BigInt BigInt::operator+(const BigInt& rhs)
{
    BigInt ret;
    ret.flag = true;//正整數相加恆爲正數
    string lvalues(values), rvalues(rhs.values);
    //處理特殊情況
    if (lvalues == "0")
    {
        ret.values = rvalues;
        return ret;
    }
    if (rvalues == "0")
    {
        ret.values = lvalues;
        return ret;
    }
    //調整s1與s2的長度
    unsigned int i, lsize, rsize;
    lsize = lvalues.size();
    rsize = rvalues.size();
    if (lsize < rsize)
    {
        for (i = 0; i < rsize - lsize; i++)//在lvalues左邊補零
        {
            lvalues = "0" + lvalues;
        }
    }
    else
    {
        for (i = 0; i < lsize - rsize; i++)//在rvalues左邊補零
        {
            rvalues = "0" + rvalues;
        }
    }
    //處理本質情況
    int n1, n2;
    n2 = 0;
    lsize = lvalues.size();
    string res = "";
    reverse(lvalues.begin(), lvalues.end());//顛倒字符串，以方便從低位算起計算
    reverse(rvalues.begin(), rvalues.end());
    for (i = 0; i < lsize; i++)
    {
        n1 = (lvalues[i] - '0' + rvalues[i] - '0' + n2) % 10;//n1代表當前位的值
        n2 = (lvalues[i] - '0' + rvalues[i] - '0' + n2) / 10;//n2代表進位
        res = res + char(n1 + '0');
    }

    if (n2 == 1)
    {
        res = res + "1";
    }
    reverse(res.begin(), res.end());

    ret.values = res;
    return ret;
}
/*
兩個正整數相減
*/
BigInt BigInt::operator-(const BigInt& rhs)
{
    BigInt ret;
    string lvalues(values), rvalues(rhs.values);
    //負數減負數
    if(flag==false&&rhs.flag==false)
    {
        string tmp = lvalues;
        lvalues = rvalues;
        rvalues = tmp;
    }
    //負數減正數
    if(flag==false&&rhs.flag==true)
    {
        BigInt res(lvalues);
        ret=res+rhs;
        ret.flag = false;
        return ret;
    }
    if(flag==true&&rhs.flag==false)
    {
        BigInt rel(lvalues),res(rhs.values);
        ret=rel+res;
        ret.flag = true;
        return ret;
    }
        //處理特殊情況
    if (rvalues == "0")
    {
        ret.values = lvalues;
        ret.flag = true;
        return ret;
    }
    if (lvalues == "0")
    {
        ret.values = rvalues;
        ret.flag = false;
        return ret;
    }
    //調整s1與s2的長度
    unsigned int i, lsize, rsize;
    lsize = lvalues.size();
    rsize = rvalues.size();
    if (lsize < rsize)
    {
        for (i = 0; i < rsize - lsize; i++)//在lvalues左邊補零
        {
            lvalues = "0" + lvalues;
        }
    }
    else
    {
        for (i = 0; i < lsize - rsize; i++)//在rvalues左邊補零
        {
            rvalues = "0" + rvalues;
        }
    }
    //調整使‘-’號前邊的數大於後邊的數
    int t = lvalues.compare(rvalues);//相等返回0，str1<str2返回負數，str1>str2返回正數
    if (t < 0)
    {
        ret.flag = false;
        string tmp = lvalues;
        lvalues = rvalues;
        rvalues = tmp;
    }
    else if (t == 0)
    {
        ret.values = "0";
        ret.flag = true;
        return ret;
    }
    else
    {
        ret.flag = true;
    }
    //處理本質情況
    unsigned int j;
    lsize = lvalues.size();
    string res = "";
    reverse(lvalues.begin(), lvalues.end());//顛倒字符串，以方便從低位算起計算
    reverse(rvalues.begin(), rvalues.end());
    for (i = 0; i < lsize; i++)
    {
        if (lvalues[i] < rvalues[i])//不足，向前借一維
        {
            j = 1;
            while(lvalues[i+j] == '0')
            {
                lvalues[i+j] = '9';
                j++;
            }
            lvalues[i+j] -= 1;
            res = res + char(lvalues[i] + ':' - rvalues[i]);
        }
        else
        {
            res = res + char(lvalues[i] - rvalues[i] + '0');
        }
    }
    reverse(res.begin(), res.end());
    res.erase(0, res.find_first_not_of('0'));//去掉前導零

    ret.values = res;
    return ret;
}

/*
兩個正整數相乘
*/
BigInt BigInt::operator*(const BigInt& rhs)
{
    BigInt ret;
    string lvalues(values), rvalues(rhs.values);
    //處理0或結果正負
    if (lvalues == "0" || rvalues == "0")
    {
        ret.values = "0";
        ret.flag = true;
        return ret;
    }
    if(flag==false||rhs.flag==false)
    {
        ret.flag=false;
    }
    //處理特殊情況
    unsigned int lsize, rsize;
    lsize = lvalues.size();
    rsize = rvalues.size();
    string temp;
    BigInt res, itemp;
    //讓lvalues的長度最長
    if (lvalues < rvalues)
    {
        temp = lvalues;
        lvalues = rvalues;
        rvalues = temp;
        lsize = lvalues.size();
        rsize = rvalues.size();
    }
    //處理本質情況
    int i, j, n1, n2, n3, t;
    reverse(lvalues.begin(), lvalues.end());//顛倒字符串
    reverse(rvalues.begin(), rvalues.end());

    for (i = 0; i < rsize; i++)
    {
        temp = "";
        n1 = n2 = n3 = 0;
        for (j = 0; j < i; j++)
        {
            temp = temp + "0";
        }
        n3 = rvalues[i] - '0';
        for (j = 0; j < lsize; j++)
        {
            t = (n3*(lvalues[j] - '0') + n2);
            n1 = t % 10;//n1記錄當前位置的值
            n2 = t / 10;//n2記錄進位的值
            temp = temp + char(n1 + '0');
        }
        if (n2)
        {
            temp = temp + char(n2 + '0');
        }
        reverse(temp.begin(), temp.end());
        itemp.values = temp;
        res = res + itemp;
    }

    ret.values = res.values;
    return ret;
}
/*
兩個正整數相除
*/
BigInt BigInt::operator/(const BigInt& rhs)
{
    BigInt ret;
    string lvalues(values), rvalues(rhs.values);
    string quotient;
    string temp;
    //處理特殊情況
    if(rvalues == "0")
    {
        ret.values = "error";//輸出錯誤
        ret.flag = true;
        return ret;
    }
    if(lvalues == "0")
    {
        ret.values = "0";
        ret.flag = true;
        return ret;
    }

    if(compare(lvalues, rvalues) < 0)
    {
        ret.values = "0";
        ret.flag = true;
        return ret;
    }
    else if(compare(lvalues, rvalues) == 0)
    {
        ret.values = "1";
        ret.flag = true;
        return ret;
    }
    else
    {
        //處理本質情況

        unsigned int lsize, rsize;
        lsize = lvalues.size();
        rsize = rvalues.size();
        int i;
        if(rsize > 1) temp.append(lvalues, 0, rsize-1);
        for(i = rsize - 1; i < lsize; i++)
        {
            temp = temp + lvalues[i];
            //試商
            for(char c = '9'; c >= '0'; c--)
            {
                BigInt t = (BigInt)rvalues * (BigInt)string(1, c);
                BigInt s = (BigInt)temp - t;

                if(s.flag == true)
                {
                    temp = s.values;
                    quotient = quotient + c;
                    break;
                }
            }
        }
    }
    //去除前導零
    quotient.erase(0, quotient.find_first_not_of('0'));
    ret.values = quotient;
    ret.flag = true;
    return ret;
}
/*
兩個正整數取餘
*/
BigInt BigInt::operator%(const BigInt& rhs)
{
    BigInt ret,kj(values),ki(rhs.values);
    string lvalues(values), rvalues(rhs.values);
    string quotient;
    string temp;
    //處理特殊情況
    if(rvalues == "0")
    {
        ret.values = "error";//輸出錯誤
        ret.flag = true;
        return ret;
    }
    if(lvalues == "0")
    {
        ret.values = "0";
        ret.flag = true;
        return ret;
    }

    if(compare(lvalues, rvalues) < 0)
    {
        if(flag==false)
        {
            ret.values=(ki-kj).values;
            ret.flag = true;
            return ret;
        }else{
            ret.values = lvalues;
            ret.flag = true;
            return ret;
        }
    }
    else if(compare(lvalues, rvalues) == 0)
    {
        ret.values = "0";
        ret.flag = true;
        return ret;
    }
    else
    {
        //處理本質情況
        unsigned int lsize, rsize;
        lsize = lvalues.size();
        rsize = rvalues.size();
        int i;
        if(rsize > 1) temp.append(lvalues, 0, rsize-1);
        for(i = rsize - 1; i < lsize; i++)
        {
            if(temp=="0"){
                temp=lvalues[i];
            }else{
                temp = temp + lvalues[i];
            }
            //試商
            for(char c = '9'; c >= '0'; c--)
            {
                BigInt t = (BigInt)rvalues * (BigInt)string(1, c);
                BigInt s = (BigInt)temp - t;

                if(s.flag == true)
                {
                    //cout<<s.values<<endl;
                    temp = s.values;
                    quotient = quotient + c;
                    break;
                }
            }
        }
    }
    //去除前導零
    quotient.erase(0, quotient.find_first_not_of('0'));
    ret.values = temp;
    ret.flag = true;
    return ret;
}
/*
一個大整數和一個小整數的取餘

int divMod(string ch,int num)
{
    int s=0;
    for(int i=0;ch[i]!='\0';i++)
    s=(s*10+ch[i]-'0')%num;
    return s;
}*/

/*
歐幾里德求GCD
*/
BigInt gcd(BigInt a,BigInt b)
{
    BigInt stemp;
    //cout<<a<<endl;
    //cout<<b<<endl;
    if((a-b).flag==false)//判斷大小
    {
        stemp.values=a.values;
        a.values=b.values;
        b.values=stemp.values;
    }
    if(b.values=="0") return a;
    else return gcd(b,a%b);
}
/*
快速冪
*/
BigInt fast(BigInt a,BigInt b)
{
    BigInt aa=a,t("1"),k("2");
 //   int b2=atoi(b1[lsize-1].c_str());
    while(b.values!="0")
    {
        if((b%k).values!="0")
        {
            t=t*aa;
        }
        aa=aa*aa;
        b=b/k;
    }
    return t;
}
/*
快速冪模
*/
BigInt mod_fast(BigInt a,BigInt b,BigInt p)
{
    BigInt aa=a,t("1"),k("2");
 //   int b2=atoi(b1[lsize-1].c_str());
    while(b.values!="0")
    {
        if((b%k).values!="0")
        {
            t=(t%p)*(aa%p)%p;
        }
        aa=(aa%p)*(aa%p)%p;
        b=b/k;
    }
    return t%p;
}

/*
擴展歐幾里德實現乘法逆
*/
BigInt extgcd(BigInt a, BigInt b, BigInt& x, BigInt& y)
{
    BigInt d(a.values);

    if(b.values != "0"){
        d = extgcd(b, a % b, y, x);
        y = y-(a / b) * x;
 //   cout<<"a:"<<a<<endl;
  //  cout<<"b:"<<b<<endl;
  //  cout<<"x:"<<x<<endl;
  //  cout<<"y:"<<y<<endl<<endl<<endl;
    }else {
        x.values = "1";
        y.values = "0";
    }
    return d;
}
BigInt mod_inverse(BigInt a, BigInt m)
{
    BigInt x, y;
    extgcd(a, m, x, y);
    if(x.flag==false)
    {
        x.flag=true;
        x=m-x;
    }
    return (m + x % m) % m;
}


#endif // BIGINT_H_INCLUDED

 

Main.cpp

 

#include <iostream>
#include"BigInt.h"

using namespace std;

int main()
{
    /*
    公開密鑰y,g,p
    */
    BigInt p("19"),g("2"),x("9"),y("18"),a("1");
    BigInt k("5"),s,r,m,k1;
    BigInt t1,t2;
    cout<<"請輸入m："<<endl;
    cin>>m;
    r=mod_fast(g,k,p);
    k1=mod_inverse(k,p-a);
    s=((m-x*r)*k1)%(p-a);
    cout<<"r:"<<r<<endl;
    cout << "s:"<<s << endl;
    cout<<"接下來驗證簽名------->"<<endl;
    t1=fast(y,r);
    t2=fast(r,s);
    cout << "t1:"<<t1<< endl;
    cout << "t2:"<<t2<< endl;
    if(((t1*t2)%p).values==mod_fast(g,m,p).values)
    {
        cout<<"簽名成功！"<<endl;
    }else{
        cout<<"簽名失敗！"<<endl;
    }
    return 0;
}

 

 

 

四、運行結果