雙連通域分解算法

算法介紹

• 學習記錄
• 關節點
  • 圖G刪除頂點v後包含的連通域增多，則稱v是關節點
• 雙連通圖
  • 不包含關節點的圖，任何一個無向圖都可以視作由若干個極大的雙連通子圖組成

算法實現

• 可以利用深度優先算法實現，在DFS搜索過程中記錄和更新u所能聯通的最高祖先(經後向邊), hca(u) < dTime(v) 則說明u可以聯通v的真祖先，v不是關節點;否則v是關節點

算法源碼

  // 基於DFS的雙連通分量分解算法
    void bcc(int s) {
        // 重置圖
        reset();

        // 時間標記
        int clock = 0;
        int v = s;

        // 棧記錄已訪問節點
        Stack<int> S;

        // 棧存儲關節點
        Stack<int> cut_vertex;

        // 遍歷各個節點
        do {
            // 沒有訪問過的頂點執行BCC函數
            if (status(v) == UNDISCOVERED) {
                BCC(v, clock, S, cut_vertex);

                // 清空棧S, 進入下一次循環
                while (!S.empty()) {
                    S.pop();
                }
            }

            // 切換到下一個頂點
            v = ++v % n;

        } while (s != v);
    }


    // 基於DFS的雙連通分量分解算法
    void BCC(int v, int &clock, Stack<int> &S, Stack<int> &cut_vertex) {
        // 當前頂點狀態調整
        status(v) = DISCOVERED;

        // 時間標記 hca(v)標記的頂點v可以觸達的最早的祖先的dTime  dTime(v)訪問時間
        hca(v) = dTime(v) = ++clock;

        // 頂點入棧
        S.push(v);

        //遍歷各個鄰接頂點
        for (int u = firstNbr(v); u > -1; u = nextNbr(v, u)) {
            switch (status(u)) {
                // 未發現
                case UNDISCOVERED:
                    // 更新遍歷樹
                    parent(u) = v;
                    type(v, u) = TREE;

                    // 遞歸執行BCC
                    BCC(u, clock, S, cut_vertex);

                    // u可以觸達v的祖先,非關節點,此時v也可以通過後向邊觸達這個祖先
                    if (hca(u) < dTime(v)) {
                        hca(v) = min(hca(u), hca(v));
                    } else {
                        // 此時v是關節點, u一下就是一個雙連通域
                        cut_vertex.push(v);

                        // TODO 存儲雙連通域
                        while(v = S.pop());

                        // 關節點重新入棧,分攤不足一次
                        S.push(v);
                    }

                    break;
                case DISCOVERED:
                    // 後向邊
                    type(v, u) = BACKWARD;

                    // 更新v節點可以觸達的最早的祖先的dTime(u)
                    if (u != parent(v)) {
                        hca(v) = min(hca(v), dTime(u));
                    }
                    break;
                case VISITED: // 有向邊專屬
                    type(v, u) = dTime(v) < dTime(u) ? FORWARD : CROSS;
                    break;
            }
        }

        // 更新當前頂點的狀態
        status(v) = VISITED;

    }