電磁場關於靜電場和恆定磁場的思維導圖及引申時變電磁場

參考書目：

• 工程電磁場導論（馬西奎）
• 電磁場與電磁波（鄒澎）<鄭大課程選定教材>
• 知乎電磁場專欄
• 電磁場理論基礎（王薔）

整理備忘作爲複習之用。本篇中所有積分符號全部採用單符號，面積和體積不再使用多積分號以便表述簡單，同時符號標記使用馬西奎教授的設定，在γ等地方可能和別的有所不同。同時建議自己推導公式之後對公式有影響後再來看，因爲很多地方都是用語言一筆帶過公式，如果對公式不熟悉可能會看的很暈，打公式真的好累…

鄙人學疏才淺，如有錯誤望多多指正

更好記的參考系及其算子

相比較《電磁場與電磁波（鄒澎）》中的旋度公式，《工程電磁場導論（馬西奎）》中將所有係數提到最前面的方式顯然方便記憶（下圖僅爲圓柱座標系，對於球座標系同理）

靜電場和恆定磁場的關係（思維導圖）

這兩章的引出思路，公式關係是用思維導圖的方式記錄的。個人感覺這兩張是整本書的思想核心，其中的推導方式、公式演化在後面章節中貫穿。例如將介質擴展爲無限大介質從而消除未知項、帽子算法等。

如下圖：（裏面的公式大家自己填吧~太懶了）

從恆定電磁場引出時變電磁場

其實更準確的說時變電磁場是由於磁場的變化從而在磁場中引入了電場的相關概念，但是又由於磁場量始終在變所以磁場和電場同時是隨時間在變的。

先引入 電磁場與電磁波（鄒澎）<鄭大課程選定教材>中沒有提到的保守場問題

• 保守場的旋度爲零，靜電場是靜止電荷激發的，作爲保守場無旋有源，所以$\oint_{l}{\vec{E}dl=ei=0}$
• 非保守場的旋度不爲零，感生電場是磁場激發的，作爲非保守場（有源場）無旋有源，所以$\oint_{l}{\vec{E}dl=ei\neq0}$

於是我們開始從電磁場引出時變電磁場

1. 關於環路定理的變換

首先明確環路定理可以從能量做功的角度（位置功只與位置相關）推導出來（$W=q\int_{l}\vec{E}dl$）
所以在靜電場中的基本方程之一：電場閉合環路積分爲零 在這裏不再適用。引出了時變電場的環路定理：$\oint_{l}{\vec{E}dl=ei\neq0}$

2. 關於隨時間而變化的電場

$E=E_庫+E_i$
所以當對兩邊積分的時候，庫侖電場的積分爲零，感應電場的積分由感生電動勢和動生電動勢共同組成（這裏注意分開計算的時候其中的感生電動勢是不考慮面積變化的，當你考慮了面積變化就相當於通過變化磁通微分來直接計算）
通過兩邊積分後引用面積分線積分之間的轉換，可以得到（注意下面公司中向量將省去箭頭）$\nabla\times\vec{E}=-\frac{\partial B}{\partial t}+\nabla\times(∇v×B)$其中$\nabla\times(∇v×B)$在我們討論時變磁場是默認爲零不在討論。

3. 電流密度的變化

電流密度不再由單一，將有靜電場中的電流密度概念和傳導電流密度概念共同組成。這也直接影響了磁場強度的旋度的結果變化，多了傳導電流一項。
其中傳導電流密度爲對於電位移的時間微分。推導方式既可以通過書上的電流連續性定理推導，也可以通過非閉合面積分任意變化（引自馬西奎教學視頻的思想）來推導。

4. 由上面的內容我們可以進一步得到麥克斯韋方程

說簡單點麥克斯韋方程就是把電場和磁場的方程全部放了進來
同時也由於麥克斯韋方程組，過去我們求邊界條件的方式中一些公式發生了改變。但是由於極限的思想，整體的邊界條件並無變化，只是邊界條件由靜電場邊界條件和恆定磁場邊界條件共同組成（雙倍快樂）

5. 能量的變化

能量也變成了組合~

6. 動態位

靜電場中我們引入了電位，恆定電場中我們引入了磁矢量位和標量位，利用同樣的方法可以得到時變磁場中的矢量位和標量位。兩者共同組成了動態位（注意這是後面推導達拉貝爾和坡印廷矢量方程的關鍵）公式很好推導，需要引入一個常用公式： $\nabla\times\nabla\times A= \nabla(\nabla\bullet A)-\nabla^2 A$

7. 達朗貝爾方程和坡印廷矢量

爲什麼把這兩個放在一起呢？因爲其實兩個的推導核心是一樣的。都是利用動態位帶入麥克斯韋方程組來回變換得到。具體推導不再詳述，注意達朗貝爾方程存在附加條件以便簡便運算和唯一。詳細的求解會在後面章節敘述

平面電磁波

引一

我們需要先清楚理想介質、導電媒質、理想導體的關係。

• 無源理想介質的J=0，ρ=0，電導率爲零（不導電）
• 導電媒質又叫做損耗媒質，可以分爲良和弱。良導電媒質的電導率很大，弱導電媒質的電導率很小。
• 理想導體電導率看做無窮大，同時理想導體E=0

這樣一來你可以理解爲導電媒質是理想導體和理想介質的摻雜體，雖然有失嚴謹但是在後面中這種理解幫助很大

引二

我們可以引入複數形式來方便計算。複數形式中微分和積分將會簡化爲普通乘法計算，對於整理極爲方便。詳細推導個人感覺鄒澎書的推導過程更易接受。但是其中有一些沒有鋪墊的部分，下面也會提到。
整個複數形式的核心：①$\vec{E}(x,y,z,t)=\dot{\vec{E}}(x,y,z)e^{jωt}$ ②$\dot{\vec{E}}(x,y,z)=\dot{E_me}^{i\varphi}=E_m·\vec{e}·e^{i\varphi}$
（後面的$\dot{E_{x1}}=\dot{E_{m1}^+}e^{-\gamma z}+\dot{E_{m1}^-}e^{\gamma z}$只是根據波動方程得到的關於解的形式，切記和這裏的e是沒有關係的）

引三

從而引出複數形式的麥克斯韋方程組


爲什麼要把第一個式子單獨截出來呢？因爲這個是後面討論的重點。
我們先從簡單地出發，如果是在理想介質中，Jm便是零，從而第一個式子右端只剩下D項。於是我們可以通過對第二個式子兩端同時求旋度，並繼續使用我們在時變電場中提到的$\nabla\times\nabla\times A= \nabla(\nabla\bullet A)-\nabla^2 A$來化簡，得到在理想介質中的波動方程：

• ①$\nabla^2\vec{E}-\frac{1}{v^2}\frac{\partial^2\vec{E}}{\partial t^2}=0$
• ②$\nabla^2\vec{H}-\frac{1}{v^2}\frac{\partial^2\vec{H}}{\partial t^2}=0$

我們發現其中有兩個未知量，EH。E和H有什麼關係？暫時有兩個我們需要記住的關係，一是他們的叉乘等於玻印亭矢量，同時波印廷矢量平均值的複數形式表示爲$S_{av}=\frac{1}{2}Re[\dot{E}\times{\dot{H}}^*]$（1/2可以這樣簡單理解：cos函數的平均值是多少？初中就知道是1/2。不嚴謹但是好記）。二是麥克斯韋方程組的第二個公式。在後面的推導中第二個公式起到了連接E和H的關鍵作用。
於是我們嘗試解E和H。引入複數來簡化，同時我們假定這個波是沿着z方向運動的平面電磁波。通過簡單的計算我們可以得到一個同一形式：

這裏注意，不同的教材上面設定的k不太一樣。這裏是設定$k=w\sqrt{\mu\varepsilon}$，有一些是設定$k=jw\sqrt{\mu\varepsilon}$，無傷大雅。其目的最終都是化簡。配合微積分知識以及傅里葉變換可以得到瞬時形式：

同時我們把兩者的比值稱爲波阻抗。由於波阻抗是個常數，我們需要思考，隨着時間t和x變化的E和H怎樣才能比值爲常數呢？使得兩者和x和t都無關即可，也就是wt-kz等於零。於是我們知道了$v=\frac{w}{k}$。記住這個公式我們在後面損失媒質中還會使用。
接下來我們討論損失媒質
損失媒質中電導率γ不再是零，所以波動方程不再是簡單地兩項而是三項。

• ①$\nabla^2\vec{E}-\mu\varepsilon\frac{\partial^2\vec{E}}{\partial t^2}-\mu\gamma\frac{\partial\vec{E}}{\partial t}=0$
• ②$\nabla^2\vec{H}-\mu\varepsilon\frac{\partial^2\vec{H}}{\partial t^2}-\mu\gamma\frac{\partial\vec{H}}{\partial t}=0$

爲了和理想介質中統一，我們設定了新的變量（下圖符號有所不同）

我們可以設定新的$k'=w\sqrt{\mu\varepsilon_c}$，至此上面的便和上面的形式相統一了。但是注意這裏的k’是一個全複數，有實部和虛部共同組成，即k=α+jβ，我們也可以得到下面的式子（其中附加相位可有可無，不影響整體）：

引用我們剛纔的思想，如果讓波阻抗等於常數，就讓$v=\frac{w}{β}$。其中α和β如下：

那麼我們開始考慮，其中的$\frac{\gamma^2}{w^2\varepsilon^2}$對於值的影響。在導電媒質中，強導電媒質γ很大，$\frac{\gamma^2}{w^2\varepsilon^2}\gg1$，所以可以得到


同理可以得到弱導電媒質：

這些公式個人感覺最好的方式是自己推導而不是強行記住，只需要知道怎麼來的其實一切都很簡單。

但是這些的作用是什麼呢？

正文

我們來開始討論入射折射問題。我們先討論兩種媒質分界面的垂直入射。請注意這裏我們討論的是媒質但是並沒有說明是導電媒質。

說明：這裏的γ對應的k’

這裏邊用到了上面說介紹的部分。對於理想導體，由於無電場，全反射。而對於理想介質，相當於k中不存在衰減項實數，只存在有虛數部分。由此可以很輕鬆的引出理想介質的對應方程，並且寫出理想介質的合場強瞬時形式（左邊爲矢量，對照前面的引入就可以推出）

同時引入趨膚深度δ，並且對波阻抗進行進一步分析。當分析導電媒質的時候，k不再是理想導體中的簡單表達式，而是由$\varepsilon$複合形式存在。於是波阻抗變成了一個由實部虛部組成的複數形式。其中的實部對應表面電阻，虛部對應表面電抗。這裏順便提一下，波阻抗所描述的並不是能量的損耗，而是電場磁場的相互轉換過程。