作者：於江生（北京大學計算機系）
聲明：允許未經作者的同意進行非商業目的的轉載，但必須保持原文的完整性。
實話實說，MatLab是迄今爲止矩陣計算最強大的工具（沒有之一）。可惜MatLab是商用的，一般個體還真買不起。MatLab的Windows版本比Linux版本要好些，這讓我不敢輕易斷言Windows一無是處，畢竟其下有MatLab這樣強悍的軟件。以前在Windows下工作，MatLab一直是我的首選矩陣計算工具，在統計計算工具S-PLUS出現之前，人們快樂地用着MatLab簡陋的統計工具箱。後來有了R，它徹底地坐穩了統計計算的頭把交椅，MatLab似乎也無意去爭奪全料冠軍，但事實上它在很多方面都做得無可挑剔。這讓我們這些買不起卻很需要MatLab的窮人感慨不已，MatLab如果是免費的該多好……
爲何選擇使用octave？
SciLab和octave是開源的且免費的矩陣計算工具，二者都有希望成爲矩陣計算的新寵。相比之下，
- octave與MatLab的兼容性更高。
- octave遵循GPL協議（GNU General Public License），用戶可以單獨發行octave或者包含在其產品中發行。而scilab則不允許，你只能免費地使用它。
- octave沒有圖形界面，是命令交互的。在某些人眼裏這是不可饒恕的缺點，而在另外一些人眼裏則是大大的優點。
它們都具備以下特點：以矩陣爲基本數據類型，內置支持複數，有內置函數和外部函數庫，用戶自定義函數的可擴展性等特點。UNIX的很多用戶選擇使用octave，看中的就是它與MatLab兼容性好這一事實。隨着開源運動的深入人心，octave不斷地發展壯大，它會吸引一大批MatLab的使用者。
GNU octave網站：http://www.octave.org/
好習慣從頭開始：
- 首先學會使用help，搞不定再到網上查，最後才求人。
- 學習octave的捷徑：讀octave的函數源碼。
- 每個命令都以“;”結束，否則矩陣的具體內容會顯示出來。
- 學會適當地使用內置命令clear，從內存中清除一些無用數據或變元。
- 如果沒有必要，不要輕易改變矩陣大小。
- 重要的中間結果要保存。
導入文件
octave和MatLab一樣用load導入數據文件，譬如
octave> A = load data.txt ;將把data.txt裏的數據導入octave並賦給矩陣 A。對於圖像文件，octave用imread將圖像導入並存爲矩陣img，
img = imread("jam.jpg") ;
在octave裏顯示圖像很簡單，用命令:
imshow(img) ;
除了jpeg和png格式的圖像可以直接導入，其他格式的圖像必須經過ImageMagick的convert函數轉換後纔可讀入。ImageMagick是命令行的強大的圖像處理工具，convert幾乎涵蓋了所有格式圖像的轉換。
如果你關心imread函數的源碼，可以去讀 /usr/local/share/octave/packages/image-1.0.8/imread.m，該函數把灰度圖像導入爲MxN矩陣，把彩色圖像導入爲MxNx3矩陣。具體的幫助文件，可以
help imread ;或者來個更詳細點兒的
help -i imread ;
Octave與MatLab的一些小區別
MatLab用戶轉而使用octave幾乎不需要什麼培訓，只是要一些小細節上注意一下。下面我們羅列一些octave和MatLab的區別。
布爾值的乘積
X = ones(2,2) ; prod(size(X)==1)MatLab和octave的輸出是不同的：
Matlab: ??? Function 'prod' is not defined for values of class 'logical'. Octave: ans = 0octave輸出爲0的原因是 size(X) 爲
ans = 2 2
邏輯運算符、算術運算符
Octave與MatLab兼容，甚至更爲寬鬆。如，
| 運算 | Matlab | octave |
| 或 | | | “|” 或者“||” |
| 且 | & | & 或者 && |
| 否 | ~= | ~= 或者 != |
MatLab用 x^2，octave用 x^2 或者 x**2 表示 “x的平方”。Octave用 x**2 是爲了照顧GnuPlot的用戶。總而言之，octave在運算符方面徹底兼容MatLab，MatLab用戶放心大膽地用octave吧，但octave用戶用MatLab的時候就要小心了。
C-風格的自動增量、賦值、屏幕打印
Octave允許C-風格的
i++ ; ++i ; i+=1 ;
printf('My result is: %d\n', 4)
而MatLab不認它們。MatLab打印至屏幕和文件都用 fprintf 函數。
注意空格
octave對空格是作爲一個符號識別的，在列合併中短的列自然擴充，例如
A = ['123 ';'123'] ; size(A)的結果是 2 4，而MatLab則返回列合併有問題：
?? Error using ==> vertcat
另外，轉置符號與矩陣之間如果有空格
[0 1] '在MatLab裏不允許，octave則允許，且與 [0 1]' 的結果是一樣的。
直方圖內置函數hist
octave的hist爲
hist (Y, X, NORM)其中NORM爲所有柱高之和。
導入空文件
MatLab允許導入空文件，老版本的octave不允許，新版本的octave-3.0.3則允許。
行續符
MatLab中用 `...' 做行續符，如用
A = rand (1, ...
2) ;
表達
A = rand (1,2) ;Octave與MatLab兼容，除此之外，octave還允許如下兩種表示方法。
A = rand (1,
2) ;
和
A = rand (1, \
2) ;
if、for等環境的結束符
Octave用
end{if,for, ...}
而MatLab則統一用 end。
R和octave命令的對照表
octave和R聯合起來用的時候，我們需要下面的命令對照表幫助我們理清楚它們的區別。“無”僅僅是說沒有一個命令行的簡單表示，並不代表不能表示。這種對比不是比較誰更強大，而是爲了記憶，無論是對R用戶學習octave或者octave用戶學習R，都是有所裨益的。
| octave | R |
| 幫助 | |
| help -i | help.start() |
| help | help(help) |
| help sort | help(sort) |
| demo() | |
| lookfor plot | apropros('plot') |
| help.search('plot') | |
| 複數 | |
| 3+4i | 3+4i |
| i | 1i % R把"i"視爲變量名 |
| abs(3+4i) | Mod(3+4i) |
| arg(3+4i) | Arg(3+4i) |
| conj(3+4i) | Conj(3+4i) |
| real(3+4i) | Re(3+4i) |
| imag(3+4i) | Im(3+4i) |
| 向量、序列 | |
| 1:10 | 1:10 或 seq(10) |
| 1:3:10 | seq(1,10,by=3) |
| 10:-1:1 | 10:1 |
| 10:-3:1 | seq(from=10,to=1,by= -3) |
| linspace(1,10,7) | seq(1,10,length=7) |
| (1:10)+i | 1:10+1i |
| a=[2 3 4 5]; # 不顯示結果 | a <- c(2,3,4,5) % 不用加分號 |
| a=[2 3 4 5] #顯示結果 | (a <- c(2,3,4,5)) % 顯示結果 |
| adash=[2 3 4 5]' ; | adash <- t(c(2,3,4,5)) |
| [a a] | c(a,a) |
| [a a*3] | c(a,a*3) |
| a.*a | a*a |
| a.^3 | a^3 |
| 向量的合併與重複 | |
| [1:4 a] | c(1:4,a) |
| [1:4 1:4] | rep(1:4,2) |
| 無 | rep(1:4,1:4) % 結果是：1 2 2 3 3 3 4 4 4 4 |
| 無 | rep(1:4,each=3) % 結果是：1 1 1 2 2 2 3 3 3 4 4 4 |
| a=1:100; | a <- 1:100 |
| a(2:100) | a[-1] % a 去掉第1個元素 |
| a([1:9 11:100]) | a[-10] % a 去掉第10個元素 |
| 無 | a[-seq(1,50,3)] % a 去掉第1,4,7,...個元素 |
| 向量的賦值 | |
| a(a>90)= -44; | a[a>90] <- -44 |
| 向量的最大、最小 | |
| a=randn(1,4); | a <- rnorm(4) |
| b=randn(1,4); | b <- rnorm(4) |
| max(a,b) | pmax(a,b) |
| max([a' b']) | cbind(max(a),max(b)) |
| max([a b]) | max(a,b) |
| [m i] = max(a) | m <- max(a) ; i <- which.max(a) |
| "min" 類似 | |
| 向量的秩 | |
| ranks(rnorm(8,1)) | rank(rnorm(8)) |
| ranks(rnorm(randn(5,6))) | apply(matrix(rnorm(30),6),2,rank) |
| 矩陣的行合併與列合併 | |
| [1:4 ; 1:4] | rbind(1:4,1:4) |
| [1:4 ; 1:4]' | cbind(1:4,1:4) 或 t(rbind(1:4,1:4)) |
| [2 3 4 5] | c(2,3,4,5) |
| [2 3;4 5] | rbind(c(2,3),c(4,5)) % rbind() 合併行; cbind() 合併列 |
| [2 3;4 5]' | cbind(c(2,3),c(4,5)) 或 matrix(2:5,2,2) |
| a=[5 6]; | a <- c(5,6) |
| b=[a a;a a]; | b <- rbind(c(a,a),c(a,a)) |
| [1:3 1:3 1:3 ; 1:9] | rbind(1:3, 1:9) |
| [1:3 1:3 1:3 ; 1:9]' | cbind(1:3, 1:9) |
| 無 | rbind(1:3, 1:8) |
| 產生矩陣 | |
| ones(4,7) | matrix(1,4,7) 或 array(1,c(4,7)) |
| ones(4,7)*9 | matrix(9,4,7) 或 array(9,c(4,7)) |
| eye(3) | diag(1,3) % 對角線都爲1的對角陣 |
| diag([4 5 6]) | diag(c(4,5,6)) % 對角線爲4,5,6的對角陣 |
| diag(1:10,3) | 無 |
| reshape(1:6,2,3) | matrix(1:6,nrow=2) 或 array(1:6,c(2,3)) |
| reshape(1:6,3,2) | matrix(1:6,ncol=2) 或 array(1:6,c(3,2)) |
| reshape(1:6,3,2)' | matrix(1:6,nrow=2,byrow=T) |
| a=reshape(1:36,6,6); | a <- matrix(1:36,c(6,6)) |
| rem(a,5) | a %% 5 |
| a(rem(a,5)==1)= -999 | a[a%%5==1] <- -999 |
| a(:) | as.vector(a) |
| 矩陣中抽取元素 | |
| a=reshape(1:12,3,4); | a <- matrix(1:12,nrow=3) |
| a(2,3) | a[2,3] |
| a(2,:) | a[2, ] |
| a(2:3,:) | a[-1,] |
| a(:,[1 3 4]) | a[,-2] |
| a(:,1) | a[ ,1] |
| a(:,2:4) | a[ ,-1] |
| a([1 3],[1 2 4]) | a[-2,-3] |
| 矩陣賦值 | |
| a(:,1) = 99 | a[ ,1] <- 99 |
| a(:,1) = [99 98 97]' | a[ ,1] <- c(99,98,97) |
| 矩陣：轉置、共軛 | |
| a' | Conj(t(a)) |
| a.' | t(a) |
| 矩陣：求和 | |
| a=ones(6,7) | a <- matrix(1,6,7) |
| sum(a) | apply(a,2,sum) |
| sum(a') | apply(a,1,sum) |
| sum(sum(a)) | sum(a) |
| cumsum(a) | apply(a,2,cumsum) |
| cumsum(a') | apply(a,1,cumsum) |
| 矩陣排序 | |
| a=rand(3,4); | a <- matrix(runif(12),c(3,4)) |
| sort(a(:)) | sort(a) |
| sort(a) | apply(a,2,sort) |
| sort(a') | apply(a,1,sort) |
| cummax(a) | apply(a,2,cummax) |
| 矩陣：最大、最小 | |
| a=randn(100,4) | a <- matrix(rnorm(400),4) |
| max(a) | apply(a,1,max) |
| [v i] = max(a) | v <- apply(a,1,max) ; i <- apply(a,1,which.max) |
| b=randn(4,4); | b <-matrix(rnorm(16),4) |
| c=randn(4,4); | c <-matrix(rnorm(16),4) |
| max(b,c) | pmax(b,c) |
| 矩陣的乘法 | |
| a=reshape(1:6,2,3); | a <- matrix(1:6,2,3) |
| b=reshape(1:6,3,2); | b <- matrix(1:6,3,2) |
| c=reshape(1:4,2,2); | c <- matrix(1:4,2,2) |
| v=[10 11]; | v <- c(10,11) |
| w=[100 101 102]; | w <- c(100,101,102) |
| x=[4 5]' ; | x <- t(c(4,5)) |
| a*b | a %*% b |
| v*a | v %*% a |
| a*w' | a %*% w |
| b*v' | b %*% v |
| v*x | x %*% v 或 v %*% t(x) |
| x*v | t(x) %*% v |
| v*a*w' | v %*% a %*% w |
| v .* x' | v*x 或_ x*v |
| a .* [w ;w] | w * a |
| a .* [x x x] | a * t(rbind(x,x,x)) 或 a*as.vector(x) |
| v*c | v %*% c |
| c*v' | c %*% v |
| 其他矩陣操作 | |
| a=rand(3,4); | a <- matrix(runif(12),c(3,4)) |
| fliplr(a) | a[,4:1] |
| flipud(a) | a[3:1,] |
| a=reshape(1:9,3,3) | a <- matrix(1:9,3) |
| vec(a) | as.vector(a) |
| vech(a) | a[row(a) <= col(a)] |
| size(a) | dim(a) |
| 網格 | |
| [x y]=meshgrid(1:5,10:12); | 無 |
| 查找 | |
| find(1:10 > 5.5) | which(1:10 > 5.5) |
| a=diag([4 5 6]) | a <- diag(c(4,5,6)) |
| find(a) | which(a != 0) % which() 的變元是布爾變元 |
| [i j]= find(a) | which(a != 0,arr.ind=T) |
| [i j k]=find(a) | ij <- which(a != 0,arr.ind=T); k <- a[ij] |
| 讀文件 | |
| load foo.txt | f <- read.table("~/foo.txt") |
| f <- as.matrix(f) | |
| 寫文件 | |
| save -ascii bar.txt f | write(f,file="bar.txt") |
| 圖形輸出 | |
| gset output "foo.eps" | postscript(file="foo.eps") |
| gset terminal postscript eps | plot(1:10) |
| plot(1:10) | dev.off () |
| 賦值 | |
| string="a=234"; | string <- "a <- 234" |
| eval(string) | eval(parse(text=string)) |
| 產生隨機數 | |
| 均勻分佈 | |
| rand(10,1) | runif(10) |
| 2+5*rand(10,1) | runif(10,min=2,max=7) 或 runif(10,2,7) |
| rand(10) | matrix(runif(100),10) |
| 正態分佈 | |
| randn(10,1) | rnorm(10) |
| 2+5*randn(10,1) | rnorm(10,2,5) |
| rand(10) | matrix(rnorm(100),10) |
| beta分佈 | |
| hist(beta_rnd(4,2,1000,1) | hist(rbeta(1000,shape1=4,shape2=10)) 或 hist(rbeta(1000,4,10)) |
| FOR循環 | |
| for i=1:5; disp(i); endfor | for(i in 1:5) {print(i)} |
| 多項式的根 | |
| roots([1 2 1]) | polyroot(c(1,2,1)) |
| polyval([1 2 1 2],1:10) | 無 |
| 集合論 | |
| a = create_set([1 2 2 99 2 ]) | a <- sort(unique(c(1,2,2,99,2))) |
| b = create_set([2 3 4 ]) | b <- sort(unique(c(2,3,4))) |
| intersect(a,b) | intersect(a,b) |
| union(a,b) | union(a,b) |
| complement(a,b) | setdiff(b,a) |
| any(a == 2) | is.element(2,a) |
| 繪圖 | |
| a=rand(10); | a <- array(runif(100),c(10,10)) |
| help plot | help (plot) and methods(plot) |
| plot(a) | matplot(a,type="l",lty=1) |
| plot(a,'r') | matplot(a,type="l",lty=1,col="red") |
| plot(a,'x') | matplot(a,pch=4) |
| plot(a,'—') | matplot(a,type="l",lty=2) |
| plot(a,'x-') | matplot(a,pch=4,type="b",lty=1) |
| plot(a,'x—') | matplot(a,pch=4,type="b",lty=2) |
| semilogy(a) | matplot(a,type="l",lty=1,log="y") |
| semilogx(a) | matplot(a,type="l",lty=1,log="x") |
| loglog(a) | matplot(a,type="l",lty=1,log="xy") |
| plot(1:10,'r') | plot(1:10,col="red",type="l") |
| hold on | matplot(10:1,col="blue",type="l",add=T) |
| plot(10:-1:1,'b') | |
| grid | grid() |
| a=randn(10); | a <- matrix(rnorm(100),nr=10) |
| contour(a) | contour(a) |
| contour(a,77) | contour(a,nlevels=77) ; filled.contour(a) |
| mesh(rand(10)) | persp(matrix(runif(100),10),theta=30,phi=30,d=1e9) |
| 文件與操作系統 | |
| system("ls") | system("ls") |
| pwd | getwd() |
| cd | setwd() |
R讀入octave導出的數據
統計計算軟件R的 foreign 包提供了函數 read.octave，可以讀入 octave 用命令 save -ascii 創建的文本數據文件，且支持變量的大多數通用類型，包括標準的原子型（復矩陣， N維數組，字符串，布爾矩陣等）和 遞歸式（結構體，單元和列表）。
在octave中用 save -ascii 保存的矩陣數據，也可以在 R 中用命令 read.table 導入，然後用 as.matrix() 強制爲 R 中的矩陣使用。我比較傾向於這種方法。這樣我們就能充分利用octave擅長矩陣計算和R擅長統計計算的優勢，將二者聯合起來使用。我們將詳細介紹octave讀入圖像文件，輸出能被R處理的矩陣數據。
下面舉個例子：我們投擲一枚硬幣，已知正面出現的概率爲 p，恰好擲出 R 正面所用的次數 N 是我們要考察的，我們做 E 次隨機試驗，看看N的經驗分佈情況。
## File : toss.m ## Purpose : The numbers of tossing to get R heads ## Author : Jiangsheng Yu ([email protected]) ## Data : 11-26-2008 ## Available : http://icl.pku.edu.cn/member/yujs/Computing.htm ## Usage : run toss.m more off ; ## turn the pagination off E = 10000; ## the number of experiments result = zeros(E,1); ## the sequence of E results R = 6 ; ## required number of heads p = 0.3 ; ## the probability of head H = 0 ; ## no heads at the beginning N = 0 ; ## no tosses at the beginning for i = 1:E do ## if head, outcome=1; otherwise, outcome=0 outcome = (rand(1,1) < p) ; H += outcome ; ## the total number of heads N += 1 ; ## the total number of tosses until ( H >= R ) ## until R heads result(i,1) = N ; N = 0 ; H = 0 ; endfor hist (result,40,1) ;
對於 p=0.3 ，R=2 做 E=10000 次隨機試驗得到 N 的直方圖如下：
 |
| 擲出R個正面所用次數的直方圖 |
對於 p=0.3 ，R=6 做 E=10000 次隨機試驗得到 N 的直方圖如下：
 |
| 擲出R個正面所用次數的直方圖 |
我們把結果保存爲 result.data，再讀到 R 中處理這些數據。
> x = result' ; > save result.dat x ;
在 R 中我們讀入數據，然後畫出直方圖。
> library(foreign)
> a <- read.octave("result.dat")
> hist(a$x, freq= FALSE, col="blue", border="pink")
得到 p=0.3 ，R=6 的直方圖：
 |
| 擲出R個正面所用次數的直方圖 |