幾何分佈每次概率不同期望公式推導（多個不同p的幾何分佈期望）

問題提出：

有這樣一種試驗，一個袋子裏有m個球，每次從袋子裏抽出a個球，每抽n 次後再把抽出的球放回，然後又繼續抽，直到抽到指定的那個球， 求抽的次數的數學期望。

例如：有1個大袋子，裏面有99個白球1個紅球，另外有一個空的小籃子一次只能裝10個球，我每次從大袋子中隨機抽出1個球放到小籃子中，如果小籃子裝滿了我就全部倒回大袋子裏去，重新再抽，直到抽到紅球爲止。試問我抽到紅球所需抽的次數的數學期望是多少？

問題分析：

在問題例子中，相當於一直重複進行概率爲

1/100,1/99,1/98,1/97,1/96,1/95,1/94,1/93,1/92,1/91, 

1/100,1/99,1/98,1/97,1/96,1/95,1/94,1/93,1/92,1/91, 

1/100,1/99,1/98,1/97,1/96,1/95,1/94,1/93,1/92,1/91, 

...

的試驗。

更一般的，其一直在重複進行着概率爲

...

的試驗。

而目標是求第一次成功所需試驗次數的數學期望，類似於幾何分佈。

期望公式推導

設，則所需試驗次數期望公式推導過程如下（由於頁面編輯公式十分困難，這裏只能貼圖片了）：

最終期望公式爲：

計算問題答案：

這裏根據推導的期望公式編寫一小段python代碼計算抽到紅球所需次數的數學期望。（注意針對較小的數據運算建議用decimal,不要用float,減少小數捨棄帶來的誤差）。

sample_p=[1/100,1/99,1/98,1/97,1/96,1/95,1/94,1/93,1/92,1/91]
n=len(sample_p)
E=decimal.Decimal(0)
q_pre=decimal.Decimal(1)
for i in range(1, n+1):
    p=sample_p[i-1]
    p=decimal.Decimal(p)
    q=decimal.Decimal(1)-p
    if i<n:
        E= E + i*q_pre*p
    else:
        E = E + n * q_pre
    q_pre=q_pre*q

E = E/(1-q_pre)
print(E)

結果期望是95.5次。

 

 

author：藍何忠

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