數據壓縮讀書筆記——線性代數的幾何意義（五）

第四章 向量組及向量空間的幾何意義

4.1 向量組的幾何意義

4.1.1 線性表示、組合及相關性的意義

  一個向量可以由另外一個或幾個向量（向量組）用數乘之和的形式表示出來。$\stackrel{\rightharpoonup}{\beta}=x_1\stackrel{\rightharpoonup}{\alpha_1}+x_2\stackrel{\rightharpoonup}{\alpha_2}+\cdots+x_s\stackrel{\rightharpoonup}{\alpha_s}$
  線性組合或表示式實質上是向量的數乘和加法的綜合。
  如果一個向量可以由一個向量組線性表示，我們就稱這個向量和向量組線性相關。另外的說法就是，一個向量組裏，只要由一個向量可以由其他向量線性表示，我們就稱這個向量組線性相關。反之，如果向量組裏的任意一個向量都不能由其他向量線性表示，我們就稱這個向量組線性無關。
  在二維平面上：

• 如果兩個向量線性相關，那麼這兩個向量必然在一條直線上。
• 不在一條直線上的任意兩個向量一定線性無關。
• 在二維平面空間上，任意三個向量必然線性相關。

如果用不相關的三個三維向量構成一個三階行列式，那麼必然張成一個平行六面體，同時行列式的值不等於0.

4.1.2 向量組等價及秩的幾何意義

向量組等價的幾何解釋

  兩個向量組$A$和$B$的等價就是這兩個向量組能夠互相被線性表示。【或者說，如果把一個向量組中的任意一個向量拿出來放到另外一個向量組中，那麼另外這個擴大的向量組就會線性相關，而且不論原向量是否線性相關】

向量的秩及極大無關向量組

  最大無關向量組的元素的個數就是等價向量組的秩。如果等價向量組最小隻有一個向量，則等價向量組的秩等於1.

極大無關向量組：從原來的較長的向量組中挑出一部分向量組成了一個新的向量組，這個新的向量組在某種意義下可以代表原來的向量組（因爲兩者等價，可以互相表出）；同時這個新的向量組中很純淨，沒有躲在別人後面濫竽充數的向量，多餘的向量被剔出了，向量之 互相獨立，個頂個，既不代表誰也不被代表（任一個向量都不能被其它向量線性表示）。

4.2 向量空間的幾何意義

4.2.1 向量張成的空間

  一個向量組可以線性表示出一個空間裏的所有向量，反過來講，空間中的所有向量都可以分解爲這個向量組的線性表示，那麼這個空間我們就叫向量組張成的空間。

4.2.2 子空間的幾何意義

如果$V$和$H$都是向量空間，而且$H\subset V$，則稱$H$是$V$的子空間。

  任何一個子空間$H$都要包含0向量，否則就不能滿足加法和數乘的封閉運算。

4.2.3 基、維數及其座標的幾何意義

基、維數、座標的定義
  對於向量空間$V$中的一個有序向量組$\{\stackrel{\rightharpoonup}{\alpha_1},\stackrel{\rightharpoonup}{\alpha_2},\cdots,\stackrel{\rightharpoonup}{\alpha_n}\}$，若滿足：

• ${\stackrel{\rightharpoonup}{\alpha_1},\stackrel{\rightharpoonup}{\alpha_2},\cdots,\stackrel{\rightharpoonup}{\alpha_n}}$線性無關；
• $V$中任意一個向量$\stackrel{\rightharpoonup}{\alpha}$都可以由
  $\stackrel{\rightharpoonup}{\alpha_1},\stackrel{\rightharpoonup}{\alpha_2},\cdots,\stackrel{\rightharpoonup}{\alpha_n}$線性表示。

  那麼稱向量組$\{\stackrel{\rightharpoonup}{\alpha_1},\stackrel{\rightharpoonup}{\alpha_2},\cdots,\stackrel{\rightharpoonup}{\alpha_n}\}$爲向量空間$V$的一個基；稱向量組$\{\stackrel{\rightharpoonup}{\alpha_1},\stackrel{\rightharpoonup}{\alpha_2},\cdots,\stackrel{\rightharpoonup}{\alpha_n}\}$的元素個數$n$爲向量空間$V$的維數；稱有序數組$(x_1,x_2,\cdots,x_3$爲向量在基$\{\stackrel{\rightharpoonup}{\alpha_1},\stackrel{\rightharpoonup}{\alpha_2},\cdots,\stackrel{\rightharpoonup}{\alpha_n}\}$上的座標。
基的幾何意義
  給一個向量空間找一個基，目的是爲了給這個空間定一個座標系。

4.2.4 基變換的幾何意義

  線性空間的兩個基是可以互相轉換或變換的，變換的矩陣稱爲過渡矩陣。

4.2.5 標準正交基的幾何解釋

  標準正交基也叫規範正交基。
標準正交基的好處
  如果基是正交且標準的，就很容易計算向量子空間的投影和基座標。用一個通用的向量表達式表示二維空間$R^2$上的標準正交基就是${(cos\theta,sin\theta),(-sin\theta,cos\theta)}$其中，$\theta$爲基向量逆向旋轉的角度。

4.2.6 施密正交化的幾何解釋

• 第一步正交化（向量減去投影分量得到正交分量）
• 第二步規範化

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