Dual-Primal Graph Convolutional Networks 對偶-原始圖卷積神經網絡

論文地址：Dual-Primal Graph Convolutional Networks
這篇論文的主要工作是通過構建對偶圖Dual Graph的方式將原圖的邊轉換成對偶圖中的節點，從而獲得edge feature。

什麼是對偶圖？

原文中給出了這樣的解釋：
Let $\mathcal{G}=(\mathcal{V}, \mathcal{E})$be a given directed graph, to which we refer as the primal graph. The dual (also known in graph theory as the line (di)graph or adjoint graph) of $\mathcal{G}$, denoted by $\tilde{\mathcal{G}}=(\tilde{\mathcal{V}}=\mathcal{E}, \tilde{\mathcal{E}})$, is constructed as follows : each dual vertex$(i, j) \in \tilde{\mathcal{V}}$ corresponds to a primal edge $(i, j) \in \tilde{\mathcal{E}}$, two dual vertices$(i, j),\left(i^{\prime}, j^{\prime}\right) \in \tilde{\mathcal{V}}$ are connected by an edge in $\tilde{\mathcal{G}}$ if they share direction and at least an endpoint in $\mathcal{G}$.

簡單地說，就是將原圖中的邊映射爲對偶圖中的節點，論文中使用了一張圖來說明這個過程

左側是原圖，右側是對偶圖中對於(0, 2)的ego graph。對偶圖中的(0,3)節點表示它是原圖中的0號節點與3號節點之間的邊。因爲(0,3)與(0,2)都與0號節點相連，所以(0,3)與(0,2)之間存在一條邊。

模型部分

對偶圖上的卷積

${F}$是一個${n \times q}$的矩陣，表示原圖上所有節點的feature。$\tilde{F}$是一個${\tilde{n} \times 2q}$的矩陣，表示對偶圖上所有節點的feature。對偶圖中的節點(i, j)可由原圖中的節點i和j的feature直接拼接得到，即$\tilde{\mathbf{f}}_{ij} =[\mathbf{f}_{i}, \mathbf{f}_{j}]$。
在對偶圖上直接套用GAT：

輸出是一個$\tilde{q}$維的向量$\tilde{\mathbf{f}}_{ij}^{\prime}$。這一步在對偶圖上聚合節點(i,j)的一階鄰居信息，其實就是通過聚合原圖上所有與i和j相連的邊來更新邊(i,j)。

原圖上的卷積

在對偶圖上獲得原圖上所有邊的feature後，再次套用GAT：

只不過在計算$\alpha_{ij}$時可以直接通過邊上的feature得到。