洛谷 4492 [HAOI2018] 蘋果樹 題解

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先膜一發 shadowice1984的題解，太神了！

題意簡述

你有一個 $n$，表示你的二叉樹將要有 $n$ 個節點。然後每次你的樹會等概率選擇某個點的還沒長過的兒子，在這裏長一個兒子。容易證明，這樣有 $n!$ 種方案。

（第一次有一種方案，第二次兩種，第三次三種…一共就是 $n!$ 種）

然後你要輸出樹上路徑和的期望值乘以 $n!$ 後 $\bmod{p}$ 的值。

$n,p$ 給定，滿足：$n\le 2000,p\le 10^9+7$

思路

考慮每條邊的貢獻：如果樹是確定的，那麼從 $i$ 連向 $i$ 父親的邊，的貢獻是 $size_i(n-size_i)$。其中 $size_u$ 表示 $u$ 的子樹大小。枚舉 $i$，把這個式子加起來就是答案了。

然後我們現在樹是不確定的…注意到 $n\le 2000$，所以我們考慮再加一維枚舉 $size$。關鍵就是，如何計算點 $i$ 的子樹裏有 $size$ 個點的樹的方案數？

考慮點 $i$ 子樹內，有 $size!$ 種生成的形態。然後我們選擇哪些點呢？這個方案數有 $C_{n-1}^{size-i}$ 種。

這一部分答案爲 $size!\times C_{n-i}^{size-1}$。

考慮點 $i$ 子樹外。在樹生成到 $i$ 之前，有 $i!$ 種方案。然後我們後面的 $n-i-size+1$ 個點，還要保證不能放到 $i$ 子樹內。然後第一次有 $i-1$ 種方案，第二次 $i$ 種，第 $k$ 次有 $i-k+2$ 種方案。一共就是 $(i-1)i(i+1)(i+2)...(n-size-1)$ 種方案。

這一部分答案爲 $i!\times (i-1)i(i+1)(i+2)...(n-size-1)=(n-size-1)!\times i (i+1)$

於是，枚舉 $i,size$ 後，總共的答案就是

$size(n-size) \times size!C_{n-i}^{size-1}\times i(i-1)(n-size-1)!$

$i$ 從 $2$ 到 $n$，$size$ 從 $1$ 到 $n-i+1$，求和即可

代碼

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
namespace Flandre_Scarlet
{
	#define N 2333
	#define int long long 
	#define F(i,l,r) for(int i=l;i<=r;++i)
	#define D(i,r,l) for(int i=r;i>=l;--i)
	#define Fs(i,l,r,c) for(int i=l;i<=r;c)
	#define Ds(i,r,l,c) for(int i=r;i>=l;c)
	#define MEM(x,a) memset(x,a,sizeof(x))
	#define FK(x) MEM(x,0)
	#define Tra(i,u) for(int i=G.Start(u),v=G.To(i);~i;i=G.Next(i),v=G.To(i))
	#define p_b push_back
	#define sz(a) ((int)a.size())
	#define iter(a,p) (a.begin()+p)
	int I()
	{
	    int x=0;char c=getchar();int f=1;
	    while(c<'0' or c>'9') f=(c=='-')?-1:1,c=getchar();
	    while(c>='0' and c<='9') x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48),c=getchar();
	    return (x=(f==1)?x:-x);
	}
	void Rd(int cnt,...)
	{
	    va_list args; va_start(args,cnt);
	    F(i,1,cnt) {int* x=va_arg(args,int*);(*x)=I();}
	    va_end(args);
	}

	// ==================== 預處理階乘,組合數
	int C[N][N],fac[N];
	int mod;
	void Init()
	{
		int n=2000;
		C[0][0]=fac[0]=1;
		F(i,1,n)
		{
			fac[i]=fac[i-1]*i%mod;

			C[i][0]=1;
			F(j,1,i) C[i][j]=(C[i-1][j]+C[i-1][j-1])%mod;
		}
	}
	// ====================
	
	int n;
	void Input()
	{
		Rd(2,&n,&mod);
	}

	int InSubtree(int i,int size) {return C[n-i][size-1]*fac[size]%mod;}
    // 在子樹內的方案
	int OutSubtree(int i,int size) {return fac[n-size-1]%mod*i%mod*(i-1)%mod;}
    // 在子樹外的方案
	void Soviet()
	{
		int ans=0;
		F(i,2,n) F(size,1,n-i+1)
		{
			int cur=size*(n-size)%mod;
			cur=cur*InSubtree(i,size)%mod;
			cur=cur*OutSubtree(i,size)%mod;
			ans=(ans+cur)%mod;
		}
		printf("%lld\n",ans);
	}

	#define Flan void
	Flan IsMyWife()
	{
		Input();
		Init();
		Soviet();
	}
	#undef int //long long
}
int main()
{
	Flandre_Scarlet::IsMyWife();
	getchar();getchar();
	return 0;
}