bzoj 5102 [POI2018]Prawnicy 題解

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題意簡述

給你 $n$ 個區間 $[l_i,r_i]$，選出 恰好 $k$ 個，使得交集最大。輸出最長的長度和方案。

注：區間 $[l,r]$ 的長度被定義爲 $r-l$。

$1\le k\le n\le 10^5$。

思路框架

若干的區間的交集，顯然，左端點是所有左端點的最大值，右端點是所有右端點的最小值。

然後我們枚舉左端點的最大值。怎麼枚舉呢？按左端點從小到大排序，枚舉到 $i$ 表示只能用 $i$ 之前的區間。那麼所有的左端點就都 $\le l_i$ 了。

然後這個時候我們怎麼選最大值呢？

1. 我們只能在 $1\sim i$ 中選
2. 選擇 $k$ 個使得最小值最大

怎麼選擇 $k$ 個使得最小值最大呢？那肯定是從大到小排序之後選前 $k$ 個啊！然後這時候最大的最小值，就是從大到小之後排第 $k$ 位的數。那麼我們現在就是要支持動態插入（無刪除）的第 $k$ 大。可以用對頂堆做。

對頂堆如何做

維護一個小根堆（堆頂是最小值），和一個大根堆（堆頂是最大值）。我們默認把數字插入到小根堆中，如果小根堆中的數字個數 $>k$，那麼我們把小根堆中的 最小值 放到大根堆裏。

那麼有一個顯然易證的性質：大根堆中的所有數，任何時候都 $\le$ 小根堆中的所有數。也就是，大根堆的堆頂 $\le$ 小根堆的堆頂。

而且我們還保證了小根堆中只有 $k$ 個數。那麼這 $k$ 個數 $\ge$ 當前的其它所有數，顯然，這 $k$ 個數字就是前 $k$ 大。求出這 $k$ 個數中的最小值（小根堆頂），就是當前的第 $k$ 大。

這個辦法也可以用於求中位數 （也就是 $k$ 不一定靜態，單調遞增的情況也可以求）

代碼

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
namespace Flandre_Scarlet
{
    #define N 1666666
    #define F(i,l,r) for(int i=l;i<=r;++i)
    #define D(i,r,l) for(int i=r;i>=l;--i)
    #define Fs(i,l,r,c) for(int i=l;i<=r;c)
    #define Ds(i,r,l,c) for(int i=r;i>=l;c)
    #define MEM(x,a) memset(x,a,sizeof(x))
    #define FK(x) MEM(x,0)
    #define Tra(i,u) for(int i=G.Start(u),v=G.To(i);~i;i=G.Next(i),v=G.To(i))
    #define p_b push_back
    #define sz(a) ((int)a.size())
    #define all(a) a.begin(),a.end()
    #define iter(a,p) (a.begin()+p)
    int I()
    {
        int x=0;char c=getchar();int f=1;
        while(c<'0' or c>'9') f=(c=='-')?-1:1,c=getchar();
        while(c>='0' and c<='9') x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48),c=getchar();
        return (x=(f==1)?x:-x);
    }
    void Rd(int cnt,...)
    {
        va_list args; va_start(args,cnt);
        F(i,1,cnt) {int* x=va_arg(args,int*);(*x)=I();}
        va_end(args);
    }
 
    struct node{int l,r,id;} a[N];
    bool operator<(node a,node b){return a.l<b.l;}
 
    int n,k;
    void Input()
    {
        Rd(2,&n,&k);
        F(i,1,n) a[i]=(node){I(),I(),i};
    }
 
    priority_queue<int,vector<int>,greater<int> > Q1; // 小根堆
    priority_queue<int> Q2; // 大根堆
    void Soviet()
    {
        sort(a+1,a+n+1);
        int Max=-0x3f3f3f3f,l,r;
        F(i,1,n)
        {
            Q1.push(a[i].r);
            if (sz(Q1)>k) 
            // 其實這裏理論上應該是個 while 循環
            // 然而實際上我們每次只會新加入一個數，那麼 sz(Q1) 頂多等於 k+1，彈一次即可
            // 寫中位數的話，這裏要改成 while !
            {
                Q2.push(Q1.top()); Q1.pop();
            }
             
            if (i>=k) // 這裏注意判一下 i>=k，很重要，會出錯！ （我就掛在這的QaQ
            {
                int rr=Q1.top(),ll=a[i].l;
                if (rr-ll>Max)
                {
                    Max=rr-ll; l=ll; r=rr;
                }
            }
        }
        printf("%d\n",Max);
        int cnt=0;
        F(i,1,n) 
        {
            if (a[i].l<=l and r<=a[i].r) 
            {
                printf("%d ",a[i].id);
                ++cnt;
            }
            if (cnt==k) break;
        }
    }
 
    #define Flan void
    Flan IsMyWife()
    {
        Input();
        Soviet();
    }
}
int main()
{
    Flandre_Scarlet::IsMyWife();
    getchar();getchar();
    return 0;
}