同餘方程(擴展歐幾里得)

已知整數 a 和 $b$，求關於 x 的同餘方程ax≡1(mod b) 的最小正整數解。

輸入格式

輸入一行，輸入兩個整數 a,b（2≤a,b≤2×10的9次方）。

輸出格式

輸出一行，輸出一個整數，即同餘方程的最小正整數解。輸入數據保證一定有解。

樣例輸入

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樣例輸出

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#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
void exgcd(int a,int b,int &d,int &x,int &y)
{
    if(!b)
    {
        d=a;
        x=1;
        y=0;
    }
    else
    {
        exgcd(b,a%b,d,y,x);
        y-=x*(a/b);
    }
}
int main()
 {
    int a,b,x,y,d;
    cin>>a>>b;
    exgcd(a,b,d,x,y);
    
    cout<<(x+b)%b;
     return 0;
 }

首先要知道ax≡1(mod b)的意思是 (ax-1)%b=1，那麼就可以轉換方程ax+bk=1;

並且a關於p的逆元存在的條件是gcd(a,p)=1,即a與p互質；

擴展歐幾里得是用來算ax+by=gcd(a,b)的解的，所以可以把bk看成by，方程爲ax+by=1；

所以直接用擴展歐幾里得算，注意！！！但最後求出的x有可能爲負數，所以輸出時把x換成(x+b)%b;若x是正數，則不變，若爲負數，則變成最小正數解；