【複習】插入排序

插入排序

這麼多插入排序，由直接插入排序進行變化得來！

直接插入排序 [穩定]

1. 將序列劃分爲兩塊：有序區，無序區
2. 初始態序列 有序區R[0]，無序區R[1] ~ R[n-1]

步驟

1. i 指向無序區的頭，j 指向有序區的尾，tmp 用於臨時儲存待插入的值
2. 無序區中每次拿出第一個元素插入到有序區，一共可以執行 n - 1 次（1 ~ n - 1）
3. 拿出R[i] 存入tmp臨時變量，j = i - 1 從有序區的尾部開始掃描，大於 tmp 的元素向後移位一個（R[i]已經用tmp臨時儲存，可以直接覆蓋）
4. 直到掃描到一個比tmp小的，將tmp插入到該位置的後面，即 j+ 1 的位置
5. 整個過程中, j 滿足 j >= 0
   

實現

void insertSort(int *R,int n){
	//param: R 序列
	//param: n 序列長度
	int i,j,tmp;
	for(i=1;i<n;i++){
		if(!(R[i] < R[i-1]))
			continue;//此元素不需要排序
		tmp = R[i];
		for(j=i-1;j>=0;j--){
			if(R[j]<tmp)
				break; //找到該元素
			else
				R[j + 1] = R[j];
		}
		R[j + 1] = tmp;//插入到J後，這個放在外面是因爲，有可能插入在第一個位置，即j = -1的時候；
	}
}

分析

當原序列爲 正序 ：

每一輪：只進行一次比較，即 R[i - 1] < R[i]的比較，不發生元素的移動。
Cmin = n - 1
Mmin = 0

當原序列爲 逆序 ：

每一輪：有序區的所有元素都需要進行一次，即需要 i 次比較，元素髮生移動的個數 (i - 1 - 0) + 1，另外對於臨時變量 tmp 有 兩次 額外的移動，總計 i + 2 次移動
Cmax = n(n-1)/2 = O(n²)
Mmax = (n-1)*(n + 4) / 2 = O(n²)

平均時間複雜度

每一輪：平均比較次數 (1+i )/ 2 ，平均移動次數 (0 + i) / 2 + 2
總的比較次數和移動次數 = (n - 1)(n + 4)/2 = O(n²)

折半插入排序 [穩定]

步驟

1. 其步驟和直接插入相似，只是先用二分法找到插入的位置，再進行元素移動

實現

void binInsertSort(int *R,int n){
	int i,j,tmp;
	int low,high,mid;
	for(i=1;i<n;i++){
		if(!(R[i] < R[i - 1]))
			continue;
		tmp = R[i];
		low = 0;high = i - 1;
		while(low <= high){
			mid = (low + high)/2;
			if(tmp < R[mid])
				high = mid - 1;
			else
				low = mid + 1;
		}
		
		for(j = i - 1; j >= high + 1;j--){
			R[j + 1] = R[j];
		}
		R[high + 1] = tmp;
	}
}

分析

平均比較：log₂(i+1)
平均移動：i/2 + 2
平均時間複雜度： $\sum_{i = 1}^{n-1}$(log₂(i+1) + i/2 + 2) = O(n²)

希爾排序 [不穩定]

1. 增量分塊，增量遞減
2. 分組的直接插入排序

與直接插入排序想比，比較每次跳躍d，初始值從d開始。

步驟

取一個d，分爲d組，d遞減至1

實現

void shellSort(int * R,int n){
	int i,j,tmp,d;
	d = n  / 2;
	while(d > 0){
		for(i = d; i < n;i++) //R[d]是第一組的第二個元素（直接插入法中將R[0]作爲初始有序區）
		{
			tmp = R[i];
			for(j = i-d;j>=0&&tmp<R[j]; j-=d){
				R[j+d] = R[j];
			}
			R[j+d] = tmp; //插入在後面
		}
		d = d/2;
	}
}

分析

每走一趟，d 變爲 floor(d/2)
走了 t = floor(log₂n) - 1 次（-1 是因爲d的初始值就爲 n/2），d = 1，再走一次進入直接插入排序，完成所有的排序
平均時間複雜度：O(n^1.3)

不穩定性

希爾排序是分組的，移動跨越很大，過程中不一定是有序的，當 d=1 且執行完 的時候爲有序。

參考

1. 深入理解希爾排序
2. 基本排序算法