形式语言与自动机
教学大纲
- 正则语言
- 2 有穷自动机
2.1 确定的有穷自动机
2.2 非确定有穷自动机
2.3 带有空转移的非确定有穷自动机
- 3 正则表达式
3.1 正则表达式
3.2 自动机和正则表达式
3.3 正则表达式的代数定律
- 4 正则语言的性质
4.1 正则语言的泵引理
4.2 正则语言的封闭性
4.3 正则语言的判定性质
4.4 自动机最小化
- 上下文无关语言
- 5 上下文无关文法
5.1 上下文无关文法
5.2 语法分析树
5.3 文法和语言的歧义性
5.4 文法的化简和范式
- 6 下推自动机
6.1 下推自动机
6.2 下推自动机的语言
6.3 下推自动机与文法的等价性
6.4 确定性下推自动机
- 7 上下文无关语言的性质
7.1 上下文无关语言的泵引理
7.2 上下文无关语言的封闭性
7.3 上下文无关语言的判定性质
- 计算导论
主要考点
- 构造自动机:DFA、NFA、ε-NFA、PDA、DPDA、TM
- 设计正则表达式/正则文法、上下文无关文法
- 泵引理+封闭性证明不是正则语言
- 等价性转换
- CNF和GNF
- 语言的接受和设计
1. 确定的有穷自动机(DFA)
确定的有穷自动机(DFA, Deterministic Finite Automaton) A 为五元组
A=(Q,Σ,δ,q0,F)
- Q : 有穷状态集;
- Σ : 有穷输入符号集或字母表;
- δ : Q×Σ→Q, 状态转移函数;
- q0 ∈ Q : 初始状态;
- F⊆Q : 终结状态集或接受状态集.
例:请设计 DFA, 在任何由 0 和 1 构成的串中, 接受含有 01 子串的全部串.
- 未发现 01, 即使 0 都还没出现过;
- 未发现 01, 但刚刚读入字符是 0;
- 已经发现了 01
因此 DFA A 的可定义为:
A = ({q1, q2, q3}, {0, 1}, δ, q1, {q3})
-
其中 δ 为:
δ(q1,1)=q1
δ(q2,1)=q3
δ(q3,1)=q3
δ(q1,0)=q2
δ(q2,0)=q2
δ(q3,0)=q3
-
状态转移图
- 每个状态 q 对应一个节点, 用圆圈表示;
- 状态转移 δ(q, a) = p 为一条从 q 到 p 且标记为字符 a 的有向边;
- 开始状态 q0 用一个标有 start 的箭头表示;
- 接受状态的节点, 用双圆圈表示.
-
状态转移表
2. 非确定的有穷自动机(NFA)
非确定有穷自动机(NFA, Nondeterministic Finite Automaton) A 为五元组
A=(Q,Σ,δ,q0,F)
- Q : 有穷状态集;
- Σ : 有穷输入符号集或字母表;
- δ : Q×Σ=2Q, 状态转移函数;
- q0 ∈ Q : 初始状态;
- F⊆Q : 终结状态集或接受状态集.
与DFA区别
- δ : Q×Σ=2Q
- 转移后为一个状态集合
- 同一个状态在相同的输入下,可以有多个转移状态
- 自动机可以处在多个当前状态
例:接受全部以 01 结尾的串的 NFA.
解:五元组为 A = ({q0, q1, q2}, {0, 1}, δ, q0, {q2})
转移函数 δ:
- δ(q0, 0) = {q0, q1}
- δ(q1, 0) = ∅
- δ(q2, 0) = ∅
- δ(q0, 1) = {q0}
- δ(q1, 1) = {q2}
- δ(q2, 1) = ∅
3. 带有空转移的非确定有穷自动机(ε-NFA)
DFA、NFA和ε-NFA性质:
- 自动机在某状态, 读入某个字符时, 可能有多个转移
- 自动机在某状态, 读入某个字符时, 可能没有转移
- 自动机在某状态, 可能不读入字符, 就进行转移
ε-NFA与NFA
- 不读入字符,就进行转移的NFA
- Q×(Σ∪{ε})=2Q
例:语言 L=w∈0,1∗∣w倒数3个字符至少有一个是1 的ε-NFA.
- 状态转移图
- 状态转移表
此后, 不再明确区分 ε-NFA 和 NFA, 而认为它们都是 NFA.
4. DFA和NFA的等价性与转换
ε−闭包:q0→所有q0能到达的状态的集合
记为Eclose(q)
例:求以下状态的 ε−closure
解:
- E(1)={1,2,4,3,6}
- E(2)={2,3,6}
- E(3)={3,6}
- E(4)={4}
- E(5)={5,7}
- E(6)={6}
- E(7)={7}
扩展转移函数
例:将以下NFA转换为DFA
解:
- 状态转移表和ε-闭包为
- 设置初状态{q0}
- 当输入0时,{q0}→{q0},不变,则{q0}的ε-闭包还是为{q0}
- 当输入1时,{q0}→{q0,q1},则{q0,q1}的ε-闭包为{q0,q1,q2,q3}
- 因此状态转移函数如下
|
0 |
1 |
{q0} |
{q0} |
{q0,q1,q2,q3} |
- 出现新状态{q0,q1,q2,q3}
- 当输入0时,{q0,q1,q2,q3}→{q0,q2,q3},则{q0,q2,q3}的ε-闭包为{q0,q2,q3}
- 当输入1时,{q0,q1,q2,q3}→{q0,q1,q2,q3},则{q0,q1,q2,q3}的ε-闭包为{q0,q1,q2,q3}
- 因此状态转移函数如下
|
0 |
1 |
{q0} |
{q0} |
{q0,q1,q2,q3} |
{q0,q1,q2,q3} |
{q0,q2,q3} |
{q0,q1,q2,q3} |
- 出现新状态{q0,q2,q3}
- 当输入0时,{q0,q2,q3}→{q0,q3},则{q0,q3}的ε-闭包为{q0,q3}(红色为原转移,绿色为转移后的闭包)
- 当输入1时,{q0,q2,q3}→{q0,q1,q2,q3},则{q0,q1,q2,q3}的ε-闭包为{q0,q1,q2,q3}
- 因此状态转移函数如下
|
0 |
1 |
{q0} |
{q0} |
{q0,q1,q2,q3} |
{q0,q1,q2,q3} |
{q0,q2,q3} |
{q0,q1,q2,q3} |
{q0,q2,q3} |
{q0,q3} |
{q0,q1,q2,q3} |
- 出现新状态{q0,q3}
- 同理,因此状态转移函数如下
|
0 |
1 |
{q0} |
{q0} |
{q0,q1,q2,q3} |
{q0,q1,q2,q3} |
{q0,q2,q3} |
{q0,q1,q2,q3} |
{q0,q2,q3} |
{q0,q3} |
{q0,q1,q2,q3} |
{q0,q3} |
{q0} |
{q0,q1,q2,q3} |
- 最后,将q0设为初始状态,且将含有原转移终止符(q3)的状态设置为终止状态,即{q0,q1,q2,q3}、{q0,q2,q3}、{q0,q3}均为终止状态
|
0 |
1 |
→{q0} |
{q0} |
{q0,q1,q2,q3} |
∗{q0,q1,q2,q3} |
{q0,q2,q3} |
{q0,q1,q2,q3} |
∗{q0,q2,q3} |
{q0,q3} |
{q0,q1,q2,q3} |
∗{q0,q3} |
{q0} |
{q0,q1,q2,q3} |
5. DFA化简:状态等价性和填表算法
5.1 等价和可区分
对于任意两个状态,一定是
二者之一
-
等价
- 即:当两个状态为等价时,对于任意一个输入符,转移状态同时为终止状态或同时不是;
- 注:不一定相同
- 因此:不提及两个状态的转移状态是否相同
-
可区分
- 即:当两个状态为可区分时(不等价),存在至少一个输入符,转移状态不同时为终止(不同时为非终止)
例:化简以下DFA
5.2 填表算法 Table-Filling Algorithm
- 直接标记终态和非终态之间的状态对
- 标记所有经过字符 0 到达终态和非终态的状态对
- {D, F }×{A, B, C, E, G, H}
- 标记所有经过字符 1 到达终态和非终态的状态对
- {B, H }×{A, C, D, E, F, G}
- 此时还有 [A,E], [A,G], [B,H], [D,F], [E,G] 未标记, 只需逐个检查.
- [A,G] 是可区分的, 因为经串 01 到可区分的 [C,E];
- [E,G] 是可区分的, 因为经串 10 到可区分的 [C,H].
- [A,E], [B,H] 和 [D,F] 在经过很短的字符串后, 都会到达相同状态,因此都是等价的.
6. 正则表达式(Regular Express)
语言是字符串集合。
语言的运算:并、连接、幂、克林闭包
递归定义:
如果E为字母表,则2上的正则表达式递归定义为:
- 0是一个正则表达式,表示空语言;
- ε是一个正则表达式,表示语言{e};
- 任意a∈E,a是一个正则表达式,表示语言{a};
- 如果正则表达式 r 和 s 分别表示语言R和S,那么r+s,rs,r∗和(r)都是正则表达式
- 分别表示语言R∪S,R⋅S,R∗和R
优先级:括号>星(*)>连接(×)>加(+)
例:L = {w | w ∈ {0, 1}∗ and w has no pair of consecutive 0’s.}
- 解:1∗(011∗)∗(0 + ε) 或 (1 + 01)∗(0 + ε)
7. 正则表达式和有穷自动机的等价关系与转换
- 正则表达式与有穷自动机等价
- 有穷自动机可以识别正则语言
- 正则表达式生成正则语言
7.1 正则表达式–>自动机
正则表达式到自动机的转换分为以下4种
例:正则表达式(0+1)∗1(0+1)转换为ε−NFA
7.1.1 并(加号)的转换
例:0+1
7.1.2 幂(星号)的转换
例:(0+1)∗
- 蓝色圈内为一个整体,表示幂运算的底
- 上方的红箭头是递归,即循环出现
- 下方的红箭头是蓝色圈内内容一个都不出现的情况,对应该题ε,即空串情况
7.2 自动机–>正则表达式
若干例题
-
2.
3.
7.2.1 删除状态法
- 添加首尾两个状态;
- 从最小的单元开始化简为正则表达式,去掉这个单元,新增一条边,写上转换的表达式;
- 最后一条表达式即为结果;
7.2.2 归纳法
- Pick every label on the path from q0 to q2 ---- one by one
- Form every RegExp on the path from q0 to q2 ---- one by one
Rij(k):0<=k<=n:i到j路径上的正则表达式
- no inner node is greater than k
当k≥1时进行归纳法
公式:
例:
解:
8. 正则语言的性质
8.1 泵引理
即:前N的字符中存在一段可以在该位置循环出现
泵引理只是正则语言的必要条件,只能用来证明某个语言不是正则的
证明:
例:
8.2 封闭性
正则语言经某些运算后得到的新语言仍保持正则,称正则语言在这些运算下封闭
正则语言 L 和 M, 在这些运算下封闭
- 并:L∪M
- 连接:LM
- 闭包:L∗
- 补:L
- 差:L−M
- 交:L∩M
- 反转:LR={wR∣wϵL}
- 同态
- 逆同态
考点:能够运用这些性质,结合泵引理证明一个语言是否是正则语言
自动机的转换
- 并:使用ε−NFA,新建初始状态节点,空转移到原来的初始状态;
- 连接:前者终止状态空转移到后者初始状态;
- 闭包:增加新终止状态,原终止状态空转移到新终止状态以及初始状态;
- 补:终止状态取补
- 差
- 交
- 反转:新增终止状态,原终止状态空转移到新终止状态,然后所有边逆向,是(非)终止状态改为非(是)终止状态;
证明思路
9. 上下文无关文法(CFG)
定义:上下文无关文法(CFG, 简称文法) G 是一个四元组 G=(V,T,P,S)
- V : 变元的有穷集, 变元也称为非终结符或语法范畴;
- T: 终结符的有穷集, 且 V ∩ T = ∅;
- P: 产生式的有穷集, 每个产生式包括:
- 一个变元, 称为“产生式的头或左部”;
- 一个产生式符号 →, 读作“定义为”;
- 一个(V∪T)∗中的符号串, 称为“体或右部”;
- S∈V:初始符号, 文法开始的地方.
产生
- 产生式A→α,读作 A 定义为 α
- 如果有多个 A 的产生式 A→α1,A→α2,⋅⋅⋅,A→αn
- 可简写为 A→α1∣α2∣⋅⋅⋅∣αn
- 文法中变元 A 的全体产生式, 称为 A 产生式
符号
- 终结符: 0, 1, . . . , a, b, . . .
- 终结符串: . . . , w, x, y, z
- 非终结符: S, A, B, . . .
- 终结符或非终结符: . . . , X, Y, Z
- 终结符或非终结符组成的串: α, β, γ, . . .
例:
- 回文
G=(A,0,1,A→ε∣0∣1∣0A0∣1A1,A)
- L={ w∈{0,1}* | w contains same number of 0’s and 1’s }
R=(S,0,1,P,S)
P:S→ε∣0S1∣1S0∣SS
- 从字符串到文法变元的分析过程, 称为递归推理或归约;
归约: 自底向上, 由产生式的体向头的分析
- 从文法变元到字符串的分析过程, 称为推导或派生.
派生: 自顶向下, 由产生式的头向体分析
9.1 规约
例:用算数表达式文法 Gexp, 将 a∗(a+b00) 归约的过程
- E → I
- E → E + E
- E → E ∗ E
- E → (E)
- I → a
- I → b
- I → Ia
- I → Ib
- I → I0
- I → I1
目标:从a∗(a+b00)规约到E
解:
- a∗(a+b00)
- I∗(I+b00)
- I∗(I+I00)
- I∗(I+I0)
- I∗(I+I)
- E∗(E+E)
- E∗E
- E
即:
9.2 派生
为限制派生的随意性, 要求只替换符号串中最左边变元的派生过程, 称为最
左派生, 记为
lm⟹或lm⟹∗
只替换最右的, 称为最右派生, 记为
rm⟹或rm⟹∗
任何派生都有等价的最左派生和最右派生
- A⟹∗w 当且仅当 Alm⟹∗w 当且仅当 Arm⟹∗w
- 即:最左和最右派生同时存在或不存在
当w在L(G)中时满足:
- w仅由终结符组成
- 初始符号S能派生出w
即:
L(G)={w ∣ wϵT∗, SG⟹∗w}
语言 L 是某个 CFG G 定义的语言, 即 L=L(G), 则称 L 为上下文无关语言(CFL, Context-Free Language).
- 上下文无关是指在文法派生的每一步αAβ⇒αγβ,符号串 γ 仅根据 A 的产生式派生, 而无需依赖 A 的上下文 α 和 β.
- 如果有两个文法 CFG G1 和 CFG G2,满足L(G1) = L(G2),则称 G1 和 G2 是等价的.
- 句型
- 若 CFGG=(V,T,P,S), 初始符号 S 派生出来的符号串, 称为 G 的句型, 即
- α∈(V∪T)∗且S⟹∗a
- 如果Slm⟹∗α,称α为左句型
- 如果Srm⟹∗α,称α为右句型
- 只含有终结符的句型, 也称为 G 的句子
- 而 L(G) 就是文法 G 全部的句子
9.3 解析树
CFG G = (V, T, P, S) 的语法分析树(语法树或派生树) 为:
- 每个内节点标记为 V 中的变元符号;
- 每个叶节点标记为 V ∪ T ∪ {ε} 中的符号;
- 如果某内节点标记是 A, 其子节点从左至右分别为X1, X2, · · · , Xn
- 那么A→X1X2⋅⋅⋅Xn∈P
- 若有 Xi = ε, 则 ε 是 A 唯一子节点, 且 A → ε ∈ P
- 语法树的全部叶节点从左到右连接起来, 称为该树的产物或结果. 如果树根节点是初始符号 S, 叶节点是终结符或 ε, 那么该树的产物属于 L(G).
- 语法树中标记为 A 的内节点及其全部子孙节点构成的子树, 称为 A 子树.
例:
CFG G = (V, T, P, S) 且 A ∈ V , 那么文法 G 中
- A⟹∗α 当且仅当 G 中存在以 A 为根节点产物为 α 的语法树
- 每棵语法分析树都有唯一的最左 (右) 派生
- 给定 CFG G = (V, T, P, S), A ∈ V , 以下命题等价:
- 通过递归推理, 确定串 w 在变元 A 的语言中
- 存在以 A 为根节点, 产物为 w 的语法分析树
- A⟹∗w
- Alm⟹∗w
- Arm⟹∗w
9.4 歧义
有些文法的歧义性, 可以通过重新设计文法来消除
- 定义同样的语言可以有多个文法, 如果 CFL L 的所有文法都是歧义的,那么称语言 L 是固有歧义的
- 定义同样的语言可以有多个文法, 如果 CFL L 的所有文法都是歧义的, 那么称语言 L 是固有歧义的.
- “判定任何给定 CFG G 是否歧义”是一个不可判定问题
10. 上下文无关文法的化简
文法化简的可靠顺序
- 消除ε-产生式;
- 消除单元产生式;
- 消除非产生的无用符号;
- 消除非可达的无用符号.
10.1 消除无用符号
- 初始符号在派生过程中能派生的语言,前后为若干终止符、中间的单一符号为可达的;
- 某一符号和前后的若干终止符能够最终派生为均为终止符的语言,则其是产生的;
- 可达 + 产生 = 有用
- 非(有用)= 无用 = 非(可达) 或 非(产生)
步骤:
- 计算“产生的”符号集
- 每个 T 中的符号都是产生的
- A → α ∈ P 且 α 中符号都是产生的, 则 A 是产生的
- 计算“可达的”符号集
- 符号 S 是可达的
- A → α ∈ P 且 A 是可达的, 则 α 中符号都是可达的
- 删除全部含有 “非产生的” 和 “非可达的” 符号的产生式
注:先寻找并消除全部非“产生的”符号,再寻找并消除全部非“可达的”符号,否则可能消除不完整。
- 例:消除如下文法无用符号
S → AB | a
A → b
- 解:S → bB | a
10.2 消除ε产生式
步骤:
- 确定“可空变元”
- 如果 A → ε, 则 A 是可空的
- 如果 B → α 且 α 中的每个符号都是可空的,则 B 是可空的
- 确定“可空变元”
- 将含有可空变元的一条产生式A→X1X2⋅⋅⋅Xn用一组产生式A→Y1Y2⋅⋅⋅Yn代替,其中
- 若 Xi 不是可空的, Yi 为 Xi
- 若 Xi 是可空的, Yi 为 Xi 或 ε
- 但 Yi 不能全为 ε (否则A为可空变元)
例:
- 消除 CFG G = ({S, A, B}, {a, b}, P, S) 的 ε-产生式.
S → AB
A → AaA | ε
B → BbB | ε
解:
- CFG G′ 为
S → AB | A | B
A → AaA | Aa | aA | a
B → BbB | Bb | bB | b
10.3 消除单元产生式
单元产生式:例如 A → B
步骤:
- 确定“单元对”
- 如果有 A⟹∗B, 则称 [A,B] 为单元对
- A → B ∈ P, 则 [A, B] 是单元对
- 若 [A, B] 和 [B, C] 都是单元对, 则 [A, C] 是单元对
- 消除单元产生式
- 删除全部形为 A → B 的单元产生式
- 对每个单元对 [A, B], 将 B 的产生式复制给 A
例:
- 消除文法的单元产生式
S → A | B | 0S1
A → 0A | 0
B → 1B | 1
解:
- 单位对为 [S, A] 和 [S, B], 带入得:
S → 0S1
S → 0A | 0
S → 1B | 1
A → 0A | 0
B → 1B | 1
11. 上下文无关文法的范式
11.1 乔姆斯基范式(CNF)
- 每个不带 ε 的 CFL 都可以由这样的 CFG G 定义, G 中每个产生式的形式都为 A→BC 或 A→a
- 这里的 A, B 和 C 是变元, a 是终结符.
- 利用 CNF 派生长度为 n 的串, 刚好需要 2n − 1 步
方法:
例:
- CFG G=(S,A,B,a,b,P,S), 产生式集合 P 为:
S→bA∣aB
A→bAA∣aS∣a
B→aBB∣bS∣b
- 请设计等价的 CNF 文法.
解:
- CNF 为:
S→CbA∣CaB
A→CaS∣CbD1∣a
D1→AA
Ca→a
B→CbS∣CaD2∣b
D2→BB
Cb→b
11.2 格雷巴赫范式(GNF)
- 每个不带 ε 的 CFL 都可以由这样的 CFG G 定义, G 中每个产生式的形式都为A→aα
其中 A 是变元, a 是终结符, α 是零或多个变元的串.
- GNF 每个产生式都会引入一个终结符
- 长度为 n 的串的派生恰好是 n 步
例:
- 将以下文法转换为 GNF.
S → AB
A → aA | bB | b
B → b
解:
- GNF 为
S → aAB | bBB | bB
A → aA | bB | b
B → b
特殊情况:
12. 下推自动机(PDA)
下推自动机(PDA, Pushdown Automata) P 为七元组
P=(Q,Σ,Γ,δ,q0,Z0,F)
- Q, 有穷状态集;
- Σ, 有穷输入符号集;
- Γ, 有穷栈符号集;
- δ:Q×(Σ∪ε)×Γ→2Q×Γ∗, 状态转移函数;
- q0∈Q, 初始状态;
- Z0∈Γ−Σ, 栈底符号;
- F⊆Q, 接收状态集或终态集.
例:设计识别 L01={0n1n∣n≥1} 的 PDA
例:设计识别 Lwwr={wwR∣w∈(0+1)∗} 的 PDA
12.1 瞬时描述(ID)
为描述 PDA 瞬间的格局, 定义 Q×Σ∗×Γ∗ 中三元组
(q,w,γ)
为瞬时描述(ID, Instantaneous Description), 表示此时 PDA 处于状态 q, 剩
余输入串 w, 栈为 γ.
12.1.1 转移
在 PDA P 中如果 (p,β)∈δ(q,a,Z), 由 (q,aw,Zα) 到 (p,w,βα) 的变化, 称为瞬时描述(ID)的转移 ⊢P, 记为
(q,aw,Zα)⊢P(p,w,βα)
其中 w∈Σ∗,α∈Γ∗.
若有瞬时描述(ID) I, J 和 K, 递归定义 ⊢P∗ 为:
- I⊢P∗I
- 若 I⊢P∗J, J⊢P∗K,则 I⊢P∗K
若 P 已知, 可省略, 记为 ⊢ 和 ⊢∗ .
例:语言 L01={0n1n∣n≥1} 的 PDA, 识别 0011 时的 ID 序列.
解:
(q0,0011,Z0)⊢(q0,011,0Z0)⊢(q0,11,00Z0)⊢(q1,1,0Z0)⊢(q1,ε,Z0)⊢(q2,ε,Z0)
定理:
-
对 ∀w∈Σ∗,∀γ∈Γ∗, 如果
(q,x,α)⊢P∗(p,y,β),
那么
(q,xw,αγ)⊢P∗(p,yw,βγ)
即:在可以转移的两个瞬时描述的剩余输入串后加入相同的剩余输入串、栈后加入相同的栈,仍然可以转移;
-
对 ∀w∈Σ∗, 如果
(q,xw,α)⊢P∗(p,yw,β),
那么
(q,x,α)⊢P∗(p,y,β)
即:在可以转移的两个瞬时描述的剩余输入串后删除相同的输入串,仍然可以转移;
12.2 下推自动机接受的语言(终态/空栈)
PDA P=(Q,Σ,Γ,δ,q0,Z0,F), 以两种方式接受语言:
- P 以终态方式接受的语言, 记为L(P), 定义为 L(P)=w∣(q0,w,Z0)⊢∗(p,ε,γ),p∈F.
- P 以空栈方式接受的语言, 记为N(P), 定义为 N(P)=w∣(q0,w,Z0)⊢∗(p,ε,ε).
定理及证明(构造)方法:
- 如果 PDA PF 以终态方式接受语言 L,那么一定存在 PDA PN 以空栈方式接受 L: PF=(Q,Σ,Γ,δF,q0,Z0,F) 构造PN=(Q∪{p0,p},Σ,Γ∪{X0},δN,p0,X0,∅)
终止状态时,空转移到p、弹栈栈底符号
- 反之亦然: PN=(Q,Σ,Γ,δN,q0,Z0,∅) 构造 PF=(Q∪{p0,pf},Σ,Γ∪{X0},δF,p0,X0,{pf})
空栈时,空转移到新建的终止状态pf
例1:识别 Lwwr 的 PDA P , 从终态方式接受, 改为空栈方式接受.
- 解:
用 δ(q1,ε,Z0)={(q1,ε)} 代替 δ(q1,ε,Z0)={(q2,Z0)} 即可
例2:接受 L={w∈{0,1}∗∣w中字符0和1的数量相同} 的 PDA
- 栈空时,压栈;
- 栈不空时:
- 若输入符与栈顶相同,压栈;
- 若输入符与栈顶不同,弹栈;
- 栈空为接受状态。
例3:接受 L={0n1m∣0≤n≤m≤2n} 的 PDA
- 定义:左、中、右、下4个状态
- 左状态:读入0(自身递归转移)
- 中状态:读入1
- 转移到下状态:(栈中有至少一个0,至少连续2个1)读入一个1,不弹栈
- 下状态转移回来:再读入一个1,弹栈
- 和下状态的一个来回读入2个1
- 自身转移:当1的个数是奇数
- 右状态:空栈,结束
13. CFG⟺PDA(等价性)
13.1 CFG⟹PDA
例:设计语言 L={0n1m∣1≤m≤n} 的 PDA,并转换为CFG
解:
- PDA:
-
CFG G:
S→AB
A→0A∣ε
B→0B1∣01
-
字符串 00011 的最左派生:
Slm⟹ABlm⟹0ABlm⟹0Blm⟹00B1lm⟹00011
用 PDA 栈顶符号的替换, 模拟文法的最左派生
- 栈顶为变元:输入ε,变元派生(如:ε,S→0S1)
- 栈顶为终结符:输入非空字符,输入串减少,栈顶弹出
- 例解:
13.2 PDA⟹CFG
如果 PDA P=(Q,Σ,Γ,δ,q0,Z0,∅), 那么构造 CFG G=(V,Σ,P′,S), 其中
V 和 P′ 为
- V={[qXp]∣p,q∈Q,X∈Γ}∪{S};
- 对 ∀p∈Q, 构造产生式 S→[q0Z0p];
- 对 ∀(p,Y1Y2⋅⋅⋅Yn)∈δ(q,a,X), 构造 ∣Q∣n 个产生式
[qXrn]→a[pY1r1][r1Y2r2]⋅⋅⋅[rn−1Ynrn]
其中 a∈Σ∪{ε}, X,Yi∈Γ, 而 ri∈Q 是 n 次 ∣Q∣ 种状态的组合; 若i=0, 为 [qXp]→a.
例:将 PDA P = ({p, q}, (0, 1), {X, Z}, δ, q, Z) 转为 CFG, 其中 δ 如下:
解:
化简:
14. GNF⟹PDA
如果 GNF 格式的 CFG G=(V,T,P′,S), 那么构造 PDA
P=({q},T,V,δ,q,S,∅)
为每个产生式, 定义 δ 为:
δ(q,a,A)={(q,β)∣A→aβ∈P′}
即:每次读入终结符,将栈中变元进行派生(弹栈+压栈),直到栈中均为终结符。
例:文法 S→aAA,A→aS∣bS∣a 为 GNF 格式, 构造等价的 PDA
15. 确定性下推自动机(DPDA)
如果 PDA P=(Q,Σ,Γ,δ,q0,Z0,F) 满足
- ∀a∈Σ∪{ε}, δ(q,a,X) 至多有一个动作;
- ∀a∈Σ, 如果 δ(q,a,X)=∅, 那么 δ(q,ε,X)=∅.
∀(q,a,Z)∈Q×Σ×Γ 满足 ∣δ(q,a,Z)∣+∣δ(q,ε,Z)∣≤1
即:每一个瞬时描述下至多有一个转移状态(可以无动作)
则称 P 为确定型下推自动机(DPDA)
例:任何 DPDA 都无法接受Lwwr, 但是可以接受
Lwcwr={wcwR∣w∈(0+1)∗}
设计DPDA
DCFL 的重要应用
- 非固有歧义语言的真子集
- 程序设计语言的语法分析器
- LR(k) 文法, Yacc 的基础, 解析时间复杂度为 O(n)
- 如果 L 是正则语言, 那么存在 DPDA P 以终态方式接受 L, 即 L=L(P)
- 证明: 显然,DPDA P 可以不用栈而模拟任何 DFA。
- 结论:正则语言⊆DCFL⊆CFL
- 前缀性质:如果语言 L 中不存在字符串 x 和 y, 使 x 是 y 的前缀, 称语言 L 满足前缀性质.
- DPDA P 且 L=N(P), 当且仅当 L 有前缀性质, 且存在 DPDA P′ 使L=L(P′).
- DPDA P 的 N(P) 更有限, 即使正则语言 0∗ 也无法接受
- 但却可以被某个 DPDA 以终态方式接受
DPDA 与歧义文法
DPDA P, 语言 L=L(P), 那么 L 有无歧义的 CFG
- 因此 DPDA 在语法分析中占重要地位
- 但是并非所有非固有歧义 CFL 都会被 DPDA 识别
如 Lwwr有无歧义文法 S→0S0∣1S1∣ε
16 上下文无关语言的泵引理
如果语言 L 是 CFL, 那么存在正整数 N, 对 ∀z∈L,
只要 ∣z∣≥N, 就可以将 z 分为五部分 z=uvwxy 满足:
- vx=ε (或∣vx∣>0);
- ∣vwx∣≤N;
- ∀i≥0,uviwxiy∈L.
例:证明 L={0n1n2n∣n≥1} 不是上下文无关语言
解:
- 假设 L 是 CFL, 那么存在整数 N, 对 ∀z∈L(∣z∣≥N) 满足泵引理.
- 从 L 中取 z=0N1N2N, 则显然 z∈L 且 ∣z∣=3N≥N.
- 由泵引理, z 可被分为 z=uvwxy, 且有 ∣vwx∣≤N 和 vx=ε.
- 那么 vwx 可能
- 只包含 0, 1 或 2, 那么 uwy∈/L;
- 只包含 0 和 1, 或只包含 1 和 2, 那么也有 uwy∈/L;
- 与泵引理 uwy=uv0wx0y∈L 矛盾, 假设不成立.
- L 不是上下文无关的
例:证明 L={ww∣w∈0,1∗} 不是上下文无关的
(错误的) 证明: 假设 L 是 CFL. 取 z=0N10N1, 那么 z=uvwxy 为
则对任意 i≥0, 有 uviwxiy∈L, 满足泵引理.
(正确的) 证明: 假设 L 是 CFL. 取 z=0N1N0N1N, 将 z 分为 z=uvwxy 时
- 若 vwx 在 z 中点的一侧, uv0wx0y 显然不可能属于 L;
- 若 vwx 包括 z 中点, 那么 uv0wx0y 为 0N1i0j1N, 也不可能属于 L.
所以假设不成立, L 不是 CFL
17 上下文无关语言的封闭性
封闭
不封闭
17.1 代换
两个字母表 Σ 到 Γ 的函数 s : Σ →2Γ∗ 称为代换. Σ 中的一个字符 a 在 s 的作用下为
Γ 上的一个语言 La, 即
s(a) = La
扩展 s 的定义到字符串,
s(ε) = ε
s(xa) = s(x)s(a)
再扩展 h 到语言, 对 ∀L ⊆ Σ∗
s(L) = x∈L⋃s(x)
-
定理:如果有 Σ 上的 CFL L 和代换 s, 且每个 a∈Σ 的 s(a) 都是 CFL, 那么 s(L) 也是 CFL
-
即:可以把CFL的每个终结符扩展为一个CFL,生成的语言还是CFL
具体构造方法:
设 CFL L 的文法 G = (V, T, P, S), 每个 s(a) 的文法 KaTeX parse error: Undefined control sequence: \
at position 6: G_{a}\̲
̲= \ (V_{a},\ T_….
那么 s(L) 的文法可以构造为
G′ = (V ′, T ′, P ′, S)
-
V′=V∪(⋃a∈TVa )
-
T′=⋃a∈TTa
-
P′包括每个 Pa 和 P 中产生式,但是要将P的产生式中每个终结符a均替换为文法 Ga 的开始符号Sa.
17.2 封闭性应用
例: 请证明语言 L 不是 CFL L={w∈{a,b,c}∗∣na(w)=nb(w)=nc(w)},其中 na(w) 表示 w 中 a 的个数.
证明:
- 因为 a∗b∗c∗ 是正则语言,
- 而 L∩a∗b∗c∗={anbncn∣n≥0} 不是 CFL,
- 由 CFL 与正则语言的交还是 CFL, 所以 L 不可能是 CFL
18 上下文无关语言的判定性质
18.1 可判定的 CFL 问题
空性: 只需判断文法的开始符号 S 是否为非产生的
有穷性和无穷性:
- 用不带无用符号的 CNF 的产生式画有向图;
- 变元为顶点, 若有 A → BC, 则 A 到 B 和 C 各画一条有向边;
- 检查图中是否有循环.
成员性: 利用 CNF 范式, 有CYK算法检查串 w 是否属于 L
18.2 CYK算法
例:CNF G 如下, 用 CYK 算法判断 bbabaa∈L(G)?
解:
S→AB∣BC
A→BA∣a
B→CC∣b
C→AB∣a
-
填写最下层(单个终结符是否有可达)
-
计算上面若干行
-
结果
-
因为 S∈X16={S,A}, 所以 bbabaa∈L(G)
18.3 不可判定的 CFL 问题
- 判断 CFG G 是否歧义的?
- 判断 CFL 是否固有歧义的?
- 两个 CFL 的交是否为空?
- 两个 CFL 是否相同?
- 判断 CFL 的补是否为空? 尽管有算法判断 CFL 是否为空
- 判断 CFL 是否等于 Σ∗?
19. 图灵机
FA |
PDA |
TM |
|
|
|
(Q, Σ, δ, q0, F) |
(Q,Σ,Γ,δ,q0,z0,F) |
(Q,Σ,Γ,δ,q0,B,F) |
- 图灵机(TM, Turing Machine) M 为七元组
M=(Q,Σ,Γ,δ,q0,B,F)
- Q: 有穷状态集;
- Σ: 有穷输入符号集;
- Γ: 有穷带符号集, 且总有 Σ⊂Γ;
- δ:Q×Γ→Q×Γ×{L,R} 转移函数;
- q0∈Q: 初始状态;
- B∈Γ−Σ: 空格符号;
- F⊆Q: 终态集或接受状态集.
与有穷自动机区别:
- 可修改(必须修改,但可以相同)
- 可向左或向右移动输入带
- 有空格符号
例:设计识别 {0n1n∣n≥1} 的图灵机
解:
- 每次标记一个0和一个1
- 标记0为X(X=“0已标记”)之后,越过所有未标记的0和已标记的1,将1标记为Y(Y=“1已标记”)
- 无未标记1后向右找到空格B,结束
M=({q0,q1,q2,q3,q4},{0,1},{0,1,X,Y,B},δ,q0,B,{q4})
19.1 瞬时描述(ID)
图灵机虽有无穷长的带, 但经过有限步, 带上非空内容总是有限的. 因此用全部非空符号、当前状态及带头位置, 定义图灵机的瞬时描述(ID)为
X1X2⋅⋅⋅Xi−1qXiXi+1⋅⋅⋅Xn
- 图灵机的当前状态 q
- 带头在左起第 i 个非空格符 Xi 上
- X1X2⋅⋅⋅Xn是最左到最右非空格内容
如果 δ(q,Xi)=(p,Y,L), 定义 ID 转移为
X1⋅⋅⋅Xi−1qXi⋅⋅⋅Xn⊢X1⋅⋅⋅Xi−2pXi−1YXi+1⋅⋅⋅Xn
续例:设计识别 {0n1n∣n≥1} 的图灵机, 接受 0011 的 ID 序列
解:
q00011⊢Xq1011⊢X0q111⊢Xq20Y1⊢q2X0Y1⊢Xq00Y1⊢XXq1Y1⊢XXYq11⊢XXq2YY⊢Xq2XYY⊢XXq0YY⊢XXYq3Y⊢XXYYq3B⊢XXYYBq4B
19.2 递归可枚举语言
如果 M 是一个图灵机,则 M 接受的语言为
L(M)={w∣w∈Σ∗,q0w⊢∗αpβ,p∈F,α,β∈Γ∗}
如果 L 是图灵机 $M $的语言, 即 L=L(M), 则称 L 是递归可枚举语言.
一般假定, 当输入串被接受时, 图灵机总会停机
然而, 对于不接受的输入, 图灵机可能永远不停止
对接受和不接受的输入, 都保证停机的图灵机, 所接受的语言称为递归语言
19.3 真减法
例:Compute the function nomus (m, n)=max(m-n,0)
解:
- put 1m01n into tape as input
- delete a 1 from 1m and a 1 from 1n
19.4 乘法
例:Construct a TM to compute m×n
3 × 2 = 2 + 2 + 2