世界的本質是旋轉(4)-採樣與頻譜混疊

在上一章(世界的本質是旋轉3-拍照與採樣)，我們初步介紹了奈奎斯特定理的形象理解方法1，留下了對帶通採樣、倒譜等概念的引子。這一章，繼續形象地思考上述概念。

1.前文回顧

在前文中，一個關於照相的思維實驗對複平面實軸上的單頻率震動開展了研究：
$s(t) =\frac {e^{2\pi jft+j\theta}+e^{-2\pi jft-j\theta}}{2}=cos(2\pi ft+\theta)$
用一個快拍相機，對旋轉的複平面拍照，觀察各個時刻下矢量的位置。假設拍照的速率是每秒 $f_s$ 次，變量n代表第幾次拍攝，設，$\omega = 2\pi \frac {f}{f_s}$ ,則得到採樣後的震動爲：
$p(n)=\frac {e^{j\omega n+j\theta}+e^{- j\omega n-j\theta}}{2}=cos(\omega n+\theta)$
這個 $\omega$ 是指，每次拍照時，矢量比上一次拍照的照片轉了 $\omega$ 弧度。

當採樣率高於旋轉速率的2倍時，可以通過兩次觀察時刻拍攝的矢量夾角，估算矢量的旋轉速度(具備唯一性）。若無此限制，實際上可以推測，無數種旋轉速度可造成同樣的拍攝結果。

2.採樣

現實世界中，我們無法拍攝複平面。相機實際上拍攝的是複平面上兩個歐拉向量疊加（相加，除2）在X軸上的一維位置。換句話說，歐拉公式是一維信號在二維空間上的一種可能結構，只可以想象，但無法具體觸摸。傳感器能夠觸摸到的只是X軸（實軸）上的一維投影量（每個時刻就1個實數值），如：

• 麥克風記錄的聲紋，咿咿呀呀，是聲音幅度隨時刻的變化。
• AD轉換器採樣量化後的信號，是電磁波能量隨時刻的變化。
  既然採樣是對高維的連續運動（這是歐拉想象的）進行降維、離散量化，那就一定存在損失，或者說模糊。

情況1

繼續前文，假設一個4000Hz的頻率去拍照（一秒拍4000張），研究一對旋轉的向量，這個向量的初始相位是30度，轉速是 500Hz(一秒500圈），實際效果如圖：
上圖中，照相機成像的結果只是麥克風測量值由A（比如電壓福特）變化到B，那些旋轉的向量都是歐拉的幽靈，“Ghost”。我們幾乎可以立刻推定，當紅藍兩個向量的旋轉速度直接加快採樣率的整數倍時，拍攝觀感不變。比如，設整數m, 當轉速變爲：
$\omega = 2\pi \frac {f+m\cdot f_s}{f_s}$
時，可以發現$\omega$由兩部分組成，
$\omega = 2\pi \frac f {f_s} + 2\pi m$
第二部分是整數m倍的$2\pi$,帶入三角函數中直接消去了。於是，轉速500、 4500、8500、12500……都可以拍攝出相同的效果。直觀理解，實際就是“當我在下一刻按下快門時，紅、藍兩個歐拉向量已經轉了好幾圈了。

情況2

但實際情況要比上面的更爲奇妙。由於我們目前實際測量的是實信號，即歐拉向量橡皮筋在實軸上的投影，因此無法跟蹤兩次拍照之間歐拉向量的實部、虛部的旋轉狀態：
上圖中，向量旋轉後，二者疊加的結果與第一種情況完全一致。轉速$\omega'=2\pi-\omega$、初始相位爲$-\theta$, 疊加結果一致。此時，$f'=f_s-f$.
對應到上面的例子，f’=3500Hz, 初始相位 -30度。

由於存在週期性，設正整數m, 當轉速變爲：
$\omega = 2\pi （1-\frac {f+m\cdot f_s}{f_s})$
時，可以發現$\omega$由兩部分組成，
$\omega = 2\pi(1- \frac f {f_s}) - 2\pi m$
第二部分是整數m倍的$2\pi$,帶入三角函數中直接消去了。於是，轉速 3500、7500、11500……都可以拍攝出相同的效果。這實際上是一種“倒轉錯覺”，正着轉45度，和倒着轉315度，效果是一樣的。

離散化後頻譜的週期性

頻譜的意思是頻率的圖譜，可以理解爲“頻率的位置”。當現實世界的運動（可以是機械振動、電磁振盪）所包含的所有運動成分在頻率上標記起來，則獲得了頻譜圖。還繼續例子，我們的例子世界，只有1種運動，即500Hz的勻速圓周矢量運動（時域餘弦震盪），它的頻譜是這樣的：
一旦進行了採樣，超過2000Hz的部分都會導致模糊，我們把這些拍攝效果完全一致的頻率位置，標記在數軸上，便形成了下圖。
綠色的部分，0-2000Hz，是奈奎斯特定律規定的採樣範圍。其餘的頻率，都是由於採樣導致的錯覺。採樣行爲只能準確描述2000Hz以下的運動，並會把所有更高頻率的運動“投影”到0-2000Hz以內。

3.頻譜的混疊

有了上述的認識，就比較容易思考頻譜的混疊。假設我們有2個頻率，500Hz與7500Hz，顯然在進行4000Hz採樣後，這兩個頻率混在了一處。但也不一定是這樣的。假設有一個9000Hz的運動成分，經過採樣後，頻譜會變成這樣：
這個運動成分被挪動到1000Hz，與500Hz並不重合。因此，在很多情況下，可以充分利用這個特點，用低檔次的硬件（低採樣率）配合上帶通濾波器，來處理高頻的信號。

海闊天空

電磁波究竟是個啥子？ 機械波是通過介質的震動承載的，電磁波呢？歐拉公式、傅里葉分析，這些東西構造了一個虛幻的高維空間，把一維運動放在高緯度去分析。但這些都是數學工具，無法和某種具象的概念聯繫起來。如果我們看到的現實世界真是高維世界的投影（常見民科論壇），那不排除電磁波也是有載體的，只是載體並不在我們可以測量的維度內。