前言：該篇博客是我《算法設計與分析》課程的期末筆記，將會出一個系列，後續章節請見主頁。
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參考資料：[1]王曉東.算法設計與分析(第三版)[M].北京:清華大學出版社,2014
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2.3 排列(Permutation)
2.3.1 問題描述
給出n個元素的所有可能的排列方式。
如: [1,2,3]的排列有[1,2,3], [1,3,2],[2,1,3],[2,3,1],[3,1,2],[3,2,1]
2.3.2 問題解決
我們最開始有一個nums數組，我們首先從第一位開始排，第一位的值有三種可能，我們先設置一個變量start_index，它表示我們目前排到了第幾位，然後分別讓nums[start_index]和後面幾位的元素交換位置，每交換好一次，就確定了那一位的值，然後開始往下一位繼續遞歸，遞歸完畢後需要恢復到原來的位置，再讓nums[start_index]和下一位交換位置。
總結來說就是三個步驟：
- ① 交換元素位置
- ② 遞歸
- ③ 恢復元素位置
所以整個全排列的實現，其實是按照圖中箭頭的順序實現的，向下的箭頭都是交換元素位置，向上的箭頭則是恢復元素位置。
你可能會不理解爲什麼要交換和恢復元素位置？
簡單來說就是，第一位可能是1、2、3三種可能，1和1交換得出1xx排列，1和2交換得出2xx排列，1和3換得出3xx排列。比如2xx的全部排完就是遞歸結束了，現在得把1和2的位置恢復回來，這樣才能保證待會兒1和3交換。如果不恢復位置，就會變成2和3交換了，那就和我們的本意違背了。
2.3.3 代碼實現
public static List<int[]> permute(int[] nums){
List<int[]> perms=new ArrayList<>();//保存全排列
permute_recursion(nums,0,perms);
return perms;
}
private static void permute_recurison(int[] nums,int start_index,List<int[]> list){
//參數含義：nums-待排序數組，start_index-排序起始位置，list-全排列
int len=nums.length;
if(start_index==len-1){//如果排到最後一位，則停止遞歸，直接加入list
int [] perm=new int[len];
for(int i=0;i<len;i++){
perm[i]=nums[i];
}
list.add(perm);
}
else{
/*核心代碼：不斷交換位置、遞歸、恢復位置*/
for(int i=start_index;i<len-1;i++){
swap(nums,start_index,i);//交換nums[start_index]和nums[i]
permute_recursion(nums,start_index+1,list);//從start_index+1開始遞歸尋找全排列
swap(nums,start_index,i);//還原nums[start_index]和nums[i]
}
}
}
//swap：交換數組的兩個元素位置
private static void swap(int[] nums ,int i,int j){
int temp=nums[i];
nums[i]=nums[j];
nums[j]=temp;
}
2.3.4 時間複雜度
時間複雜度：Ω(n!)
分析：
第一層，for循環要執行三次，每次執行都要調用兩次swap()函數和一次遞歸，所以爲3+3x3
第二層，for循環要執行兩次，也是每次執行都要調用兩次swap()函數和一次遞歸，但因爲這裏有三個分支（分別爲1xx、2xx、3xx），所以爲(2+2x2)x3
…
最後一層，不需要執行for循環，有3!個分支，所以是3!
同樣的分析方法，我們可以得出n個元素的情況，結果見圖片。因爲最後一層是n!，所以知道時間複雜度的下限爲Ω(n!)