算法设计与分析之分治法解决全排列问题

前言：该篇博客是我《算法设计与分析》课程的期末笔记，将会出一个系列，后续章节请见主页。
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参考资料：[1]王晓东.算法设计与分析(第三版)[M].北京:清华大学出版社,2014
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2.3 排列(Permutation)

2.3.1 问题描述

给出n个元素的所有可能的排列方式。
如: [1,2,3]的排列有[1,2,3], [1,3,2],[2,1,3],[2,3,1],[3,1,2],[3,2,1]

2.3.2 问题解决

我们最开始有一个nums数组，我们首先从第一位开始排，第一位的值有三种可能，我们先设置一个变量start_index，它表示我们目前排到了第几位，然后分别让nums[start_index]和后面几位的元素交换位置，每交换好一次，就确定了那一位的值，然后开始往下一位继续递归，递归完毕后需要恢复到原来的位置，再让nums[start_index]和下一位交换位置。
总结来说就是三个步骤：

• ① 交换元素位置
• ② 递归
• ③ 恢复元素位置

所以整个全排列的实现，其实是按照图中箭头的顺序实现的，向下的箭头都是交换元素位置，向上的箭头则是恢复元素位置。
你可能会不理解为什么要交换和恢复元素位置？
简单来说就是，第一位可能是1、2、3三种可能，1和1交换得出1xx排列，1和2交换得出2xx排列，1和3换得出3xx排列。比如2xx的全部排完就是递归结束了，现在得把1和2的位置恢复回来，这样才能保证待会儿1和3交换。如果不恢复位置，就会变成2和3交换了，那就和我们的本意违背了。

2.3.3 代码实现

public static List<int[]> permute(int[] nums){
	List<int[]> perms=new ArrayList<>();//保存全排列
	permute_recursion(nums,0,perms);
	return perms;
}
private static void permute_recurison(int[] nums,int start_index,List<int[]> list){
//参数含义：nums-待排序数组，start_index-排序起始位置，list-全排列
	int len=nums.length;
	if(start_index==len-1){//如果排到最后一位，则停止递归，直接加入list
		int [] perm=new int[len];
		for(int i=0;i<len;i++){
			perm[i]=nums[i];
		}
		list.add(perm);
	}
	else{
	/*核心代码：不断交换位置、递归、恢复位置*/
		for(int i=start_index;i<len-1;i++){
			swap(nums,start_index,i);//交换nums[start_index]和nums[i]
			permute_recursion(nums,start_index+1,list);//从start_index+1开始递归寻找全排列
			swap(nums,start_index,i);//还原nums[start_index]和nums[i]
		}
	}
}
//swap：交换数组的两个元素位置
private static void swap(int[] nums ,int i,int j){
	int temp=nums[i];
	nums[i]=nums[j];
	nums[j]=temp;
}

2.3.4 时间复杂度

时间复杂度：Ω(n!)
分析：

第一层，for循环要执行三次，每次执行都要调用两次swap()函数和一次递归，所以为3+3x3
第二层，for循环要执行两次，也是每次执行都要调用两次swap()函数和一次递归，但因为这里有三个分支（分别为1xx、2xx、3xx），所以为(2+2x2)x3
…
最后一层，不需要执行for循环，有3!个分支，所以是3!
同样的分析方法，我们可以得出n个元素的情况，结果见图片。因为最后一层是n!，所以知道时间复杂度的下限为Ω(n!)