21 二叉查找樹——紅黑樹
1. 二叉查找樹（Binary Search Tree）
- 概念
二叉查找樹是二叉樹中最常用的一種類型，也叫二叉搜索樹。顧名思義，二叉查找樹是爲了實現快速查找而生的。不過，它不僅僅支持快速查找一個數據，還支持快速插入、刪除一個數據。
它是怎麼做到這些的呢？ 這些都依賴於二叉查找樹的特殊結構。
二叉查找樹要求，在樹中的任意一個節點，其左子樹中的每個節點的值，都要小於這個節點的值，而右子樹節點的值都大於這個節點的值。 - 二叉查找樹的查找、刪除、插入
二叉查找樹的查找、插入操作都比較簡單易懂，但是它的刪除操作比較複雜一點。
除了插入、刪除、查找操作之外，二叉查找樹中還可以支持快速地查找最大節點和最小節點、前驅節點和後繼節點。 - 二叉查找樹的有序輸出——中序遍歷
二叉查找樹除了支持上面幾個操作之外，還有一個重要的特性，就是中序遍歷二叉查找樹，可以輸出有序的數據序列，時間複雜度是 O(n)，非常高效。 - 二叉查找樹的時間複雜度分析
極度不平衡的二叉查找樹的插入、刪除、查找操作的時間複雜度爲O(n)。
平衡二叉查找樹的高度接近 logn，所以插入、刪除、查找操作的時間複雜度也比較穩定，是 O(logn)。
2. 有了如此高效的散列表，爲什麼還需要二叉樹？
第一，散列表中的數據是無序存儲的，如果要輸出有序的數據，需要先進行排序。而對於二叉查找樹來說，我們只需要中序遍歷，就可以在 O(n) 的時間複雜度內，輸出有序的數據序列。
第二，散列表擴容耗時很多，而且當遇到散列衝突時，性能不穩定，儘管二叉查找樹的性能不穩定，但是在工程中，我們最常用的平衡二叉查找樹的性能非常穩定，時間複雜度穩定在 O(logn)。
第三，籠統地來說，儘管散列表的查找等操作的時間複雜度是常量級的，但因爲哈希衝突的存在，這個常量不一定比 logn 小，所以實際的查找速度可能不一定比 O(logn) 快。加上哈希函數的耗時，也不一定就比平衡二叉查找樹的效率高。
第四，散列表的構造比二叉查找樹要複雜，需要考慮的東西很多。比如散列函數的設計、衝突解決辦法、擴容、縮容等。平衡二叉查找樹只需要考慮平衡性這一個問題，而且這個問題的解決方案比較成熟、固定。 最後，爲了避免過多的散列衝突，散列表裝載因子不能太大，特別是基於開放尋址法解決衝突的散列表，不然會浪費一定的存儲空間。
綜合這幾點，平衡二叉查找樹在某些方面還是優於散列表的，所以，這兩者的存在並不衝突。我們在實際的開發過程中，需要結合具體的需求來選擇使用哪一個。
3. 平衡二叉查找樹
平衡二叉樹的嚴格定義是這樣的：二叉樹中任意一個節點的左右子樹的高度相差不能大於 1。
完全二叉樹、滿二叉樹其實都是平衡二叉樹，但是非完全二叉樹也有可能是平衡二叉樹。
平衡二叉查找樹中“平衡”的意思，其實就是讓整棵樹左右看起來比較“對稱”、比較“平衡”，不要出現左子樹很高、右子樹很矮的情況。這樣就能讓整棵樹的高度相對來說低一些，相應的插入、刪除、查找等操作的效率高一些。
4. 如何定義一棵“紅黑樹”？
紅黑樹的英文是“Red-Black Tree”，簡稱 R-B Tree。
顧名思義，紅黑樹中的節點，一類被標記爲黑色，一類被標記爲紅色。除此之外，一棵紅黑樹還需要滿足這樣幾個要求：
根節點是黑色的；
每個葉子節點都是黑色的空節點（NIL），也就是說，葉子節點不存儲數據；
任何相鄰的節點都不能同時爲紅色，也就是說，紅色節點是被黑色節點隔開的；
每個節點，從該節點到達其可達葉子節點的所有路徑，都包含相同數目的黑色節點；
5. 爲什麼說紅黑樹是“近似平衡”的？
平衡二叉查找樹的初衷，是爲了解決二叉查找樹因爲動態更新導致的性能退化問題。所以，“平衡”的意思可以等價爲性能不退化。“近似平衡”就等價爲性能不會退化的太嚴重。
6. 思考
- 爲什麼在工程中大家都喜歡用紅黑樹這種平衡二叉查找樹？
答：Treap、Splay Tree，絕大部分情況下，它們操作的效率都很高，但是也無法避免極端情況下時間複雜度的退化。儘管這種情況出現的概率不大，但是對於單次操作時間非常敏感的場景來說，它們並不適用。
AVL 樹是一種高度平衡的二叉樹，所以查找的效率非常高，但是，有利就有弊，AVL 樹爲了維持這種高度的平衡，就要付出更多的代價。每次插入、刪除都要做調整，就比較複雜、耗時。所以，對於有頻繁的插入、刪除操作的數據集合，使用 AVL 樹的代價就有點高了。
紅黑樹只是做到了近似平衡，並不是嚴格的平衡，所以在維護平衡的成本上，要比 AVL 樹要低。 所以，紅黑樹的插入、刪除、查找各種操作性能都比較穩定。
對於工程應用來說，要面對各種異常情況，爲了支撐這種工業級的應用，我們更傾向於這種性能穩定的平衡二叉查找樹。 - 動態數據結構支持動態地數據插入、刪除、查找操作，除了紅黑樹，我們前面還學習過哪些呢？能對比一下各自的優勢、劣勢，以及應用場景嗎？
散列表：插入刪除查找都是O(1), 是最常用的，但其缺點是不能順序遍歷以及擴容縮容的性能損耗。適用於那些不需要順序遍歷，數據更新不那麼頻繁的。
跳錶：插入刪除查找都是O(logn), 並且能順序遍歷。缺點是空間複雜度O(n)。適用於不那麼在意內存空間的，其順序遍歷和區間查找非常方便。
紅黑樹：插入刪除查找都是O(logn), 中序遍歷即是順序遍歷，穩定。缺點是難以實現。
紅黑樹還不是很理解，有待補充。。。
7. 參考資料
- 王爭老師在極客時間的專欄《數據結構與算法之美》
- 專欄下的所有評論
8. 聲明
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