Fist：why？
有時候只知道什麼還不夠，我們還需要爲什麼，所以我在整個數據結構系列中都要追尋這個答案。
Q1：爲什麼需要浮點型數據。
與整型數據一樣，小數應用也是十分廣泛，尤其是在高等數學方面。
由於計算機最初設計來就是爲了進行數學計算的，所以小數出現是理所當然的。
至於在計算機中爲什麼小數會分成兩類，等你看完這篇文章就明白了。
小數是如何使用二進制實現的
上一篇我們介紹了有符號無符號數在計算機低層如何表達。
1.整數類型之有符號、無符號數（原碼、反碼、補碼）詳解。
今天就講一下小數在計算機低層如何實現的。
1. 定點數
定點數是很早很早就出現的數據類型，幾乎在計算機出現沒多久就出現了。
其實這也是很符合歷史發展規律的，當人們找到合適的表達有符號數之後，
用定點數表達小數也是很理所應當的。
像有符號數一樣我們，人爲指定了一位數表達正負，定點數就是我們人爲的指定，二進制數字的一部分表示小數的整數部分、一部分表示小數的小數部分，這樣來表示小數。
小數點位固定在最後一位之後稱爲定點整數，小數點固定在最高位之後稱爲定點小數。
2. 浮點數
2.1科學記數法與浮點數
說到浮點數，我覺得使用科學記數法這樣來理解時最好的。
科學記數法例：+1.99714×10^13
由符號位，數值和冪數表示。其中冪數表明數字值的小數點往前或往後（當冪數爲正時）移動多少位。
浮點數也是這樣的的，採用科學記數法，實現小數點位置的浮動，這樣的大大增加了能表達的數字精確度，而且也能夠，更好的計算。
根據國際標準IEEE 754/854，任意一個二進制浮點數V可以表示成下面的形式：
V = (-1)^s ×M×2^E
（1）(-1)^s表示符號位，當s=0，V爲正數；當s=1，V爲負數。
（2）M表示有效數字，大於等於1，小於2。
（3）2^E表示指數位。
其中s：取值爲0，1。0爲正；
E爲有符號整數，取值爲 -126~+127；
M爲無符號整數，取值爲0-2^22，其實際值爲1.M（二進制）；
也就是說單精度浮點數最大精度爲：
±1.00000000000000000000001 X 2^-126
轉換爲十進制數字是：
(1+2^-23) X (2^-126) = 1.401298 X 10^-45
但是：別看取值能取到10的負45次方，其實單精度浮點數的精度只有7位。
單精度浮點數的實際有效精度爲24位二進制，這相當於24*log102≈7.2位10進制的精度，所以平時我們說“單精度浮點數具有7位精度”
2.2浮點數的特殊數值
IEEE 標準指定了以下特殊值：±0、反向規格化的數、±∞ 和 NaN（如下表所示）。這些特殊值都是使用 emax+1 或 emin-1 的指數進行編碼的。
NaN：當指數段 exp 全爲 1 時，小數段爲非零時，結果值就被稱爲“NaN”（Not any Number），如圖 3 所示。
無窮：當指數段 exp 全爲 1，小數段全爲 0 時，得到的值表示無窮。當 s=0 時是 +∞，或者當 s=1 時是 -∞
2.3浮點數的舍入誤差
在浮點數的舍入問題上，IEEE 浮點格式定義了 4 種不同的舍入方式，如下表所示。其中，默認的舍入方法是向偶數舍入，而其他三種可用於計算上界和下界。
偶數舍入：四捨六入五成雙
這種約定的問題在於，人們可以很容易地想象
在這種情況下，舍入一組數據值將引入統計偏差
計算平均值。一組數字的平均值
我們用這種方法四捨五入的結果會略高於
數字本身。相反，如果我們總是把數字四捨五入到一半
從下到下，一組四捨五入數的平均值是
略低於數字本身的平均值。四捨五入
在現實生活中，偶數可以避免這種統計偏差。
它將在大約50%的時間內向上舍入，在大約50%的時間內向下舍入。
這是IEEE裏對偶數舍入的解釋百度翻譯。
就是舍入位的奇偶性決定是否進位。
例：10.0（10）, 10.0（11）, 10.1（10）, 11.0（01）向偶數舍入（保留小數點後一位）的結果分別爲10.0, 10.1, 11.0, 11.0。
這樣是爲了避免統計偏差。
2.4不是總可靠的浮點數
正如我上面所講的，單精度浮點數取值能取到10的負45次方，但是由於其數值位只有24位，所以它的精度只有七位。
而且最重要的還有一點，在十進制轉換二進制計算的過程中會出現溢出的情況！
就是老師講課都說過的float不精確。這也是在一些編程過程中容易出現的問題，包括在數據庫等都會出現這個問題。
就像一個簡單的0.1使用二進制表示需要
0 01111011 10011001100110011001101
s=0 e=123 尾數部分的隱含位爲1 所以尾數是1.10011001100110011001101
以上二進制數據流對應的二進制數學運算表達式爲：
(-1)0*2123-1271.10011001100110011001101
即2^-4 X 1.10011001100110011001101
即2^23 X 1.10011001100110011001101 X 2^-27
即1100110011001100110011012^-27
即13421773*2^-27
=0.100000001490116119384765625
與0.1誤差0.000000001490116119384765625
所以說並不精確，但是這個問題並不是不能解決的，在高級語言中都出現的特定的數據結構，來解決高精度數字，比如，java的BigDecimal，python的Decimal等等。
參考：IEEE 754浮點數標準詳解