光測力學-柵線投影/面結構光技術

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作者：琉璃犀

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本文主要介紹了柵線投影方法的基本原理-三角測量與線性對應關係，以及柵線投影系統標定的細節。下一篇文章我們將介紹傅里葉與相移兩種相位求解方法。

柵線投影可能在其他領域更多的被成爲面結構光，其和DIC或者線結構光技術相比，有着一些優點：測量數據點多，由於柵線投影技術是逐像素點進行獨立求解的（相移方法），所以其可以獲得大量的獨立點雲數據，以2048*2448的相機爲例，其可以獲得500萬級別的數據量，但是對於線結構光，一般只能獲得2048或2448的有限倍的數據量。

但是，從另一方面而言，固體力學中主要利用lagrange描述方法的理論，而並不是這種Euler描述，雖然二者之間有着轉換理論，但是有着一定的不直觀性。而且當位移是發生在面內而不是離面時，柵線投影的測量不敏感（所以DIC和柵線投影的結合也是一個發展趨勢）。

下面就講一下柵線投影的相關理論。

基本原理

柵線投影法實質也是一種三角測量方式，通過投影儀和相機光軸呈一定角度來構建搭建三角關係。其反映在具體圖像中，可以認爲原本均勻分佈的柵線，因爲三角關係的存在，被物體表面的高度信息調製爲特殊的柵線模式（發生了一定的彎曲變形），如圖所示。示意圖中被測物體選擇了二元高斯密度函數。

三角關係示意圖

相位高度關係

柵線投影法的測量系統一般由投影儀和相機兩個部件組成。其中投影儀負責向被測量物體表面投射特定模式的柵線圖案，相機負責採集被投射物體表面的圖像。部分情形下還會在被測量物體後引入一個平面作爲載波平面，但是即使不引入，在求解時也可以假設一個虛平面，不影響系統的測量。

系統的光路圖如下圖所示（一般來說相機光軸和投影儀光軸不可能共面，當不共面同樣可以推導，這裏爲了展示線性關係所以建立了比較簡單的模型）。其中P爲投影儀光心，C爲相機光心。O爲相機光軸和投影儀光軸的交點。設通過O點的水平平面爲計算中基準X軸。L1和L2分別爲相機光心和投影儀光心到X軸的距離。d爲相機光心到投影儀光心沿X軸方向的距離。A-B-0平面爲假設的虛平面，所假設的虛平面平行於投影儀光心和相機光心的連接線PC。

基本光路圖

首先由平行相似關係可得虛平面到PC的距離爲下：

其中 爲 點至 的距離，在後文中，形如 的表達式均代表距離。考慮物體上的任意一點 ,其中點 與點 分別爲相機和投影儀通過點 在虛平面上的投影。由於 相似於 ，故有以下比例關係：

故我們可以從方程中解出高度 的表達式，如下：

由於在實際測量中， 遠小於 ，故可以忽略其在分母中的存在，將上述公式簡化如下：

若投影儀投射出的光柵圖案具有固定的週期，由於平面（理想的DLP微鏡陣列）至平面的投影爲線性映射，故圖案映射在虛平面上也具有固定的週期。在投影的圖案中引入線性的相位                     信息，綜上所述 與 也呈線性關係，即：

其中 爲B點與A點之間的相位差距， 爲Q點與A點之間的相位差距。注意到此理想情況下，以虛平面爲基準面，當 時， ，故其爲常數項爲0的線性關係。而在具體實驗系統標定時，所設置的標定零平面與虛平面往往不重合，其表達式之間存有一個線性轉化關係，故實際的 與 的線性關係常數項不爲0，即可進一步表達爲：

其中 爲標定零平面上對應點的參考相位，k與b爲系統的測量標定係數。上式表明，對於物體表面任意一點的高度 ，與相機採集到的投影圖案所對應的相位值是呈近似線性關係的。故在測量中首先對測量系統的k與b進行標定，進而只需要求解出物體表面每一點的相位值即可解出物體表面的三維形貌。

較爲特殊的，在力學領域往往更關心物體的變形信息而不是形貌，在此情況下有：

故若只關心位移，僅需要對測量系統中的k參數進行標定即可。

柵線投影系統的平面標定

當前對於測量系統標定的方法主要有兩類。第一類是將相機、投影儀的內參與外參全都標定出來，即分別明確投影儀和相機在空間內的3個空間座標，3個光軸方向座標和一個傳感器角度座標，通過標定出這些參數，則能夠直接將柵線相位和高度之間的關係計算出來。第二類是平面標定，即通過一個平面標定板，對空間不同位置進行多次標定，從而建立相位差值和高度之間的關係。兩種方法相比，雖然平面標定需要一個高精度的平移臺做硬件支撐，但其操作簡單，計算精度高，是比較常用的一種方法。投影儀相機聯合標定將在以後的文章中敘述。

同坐標相位標定方法

同坐標相位標定算法是一種基於相機同一個像素點的標定方法。這種方法採用一個標準平面與一個平移臺。其中平移臺的精度越高越好，因爲系統的測量精度取決於平移臺的位移精度。其原理圖如下所示。

同坐標相位標定方法示意圖

對於相機的某一個像素而言，當標定板位於 和 位置時採集的相位爲 和 。注意這裏的相位是投影儀的總相位，即通過投影儀投射一根標準亮條紋確定真實相位所在的週期，再以該週期爲起始區域向四周解包裹得到所用的相位。對於被測量實際物體上的一點，由於相似關係有：

故對於該點處實測到的相位 ，可求算處其相對於標定零位面的高度爲：

可以看出，二者之間呈一定線性關係。一般來說，由於可能存在環境振動和電子元器件噪音，用兩個標定面所得到的標定結果不一定精確。故可以增加多個標定平面，利用最小二乘技術直接去將二者線性關係的參數擬合出來即可。

等相位座標標定方法

等相位座標標定算法是一種基於相機不同像素點尋找等相位距離的標定方法。其所需要的實驗硬件與上一方法一致。其原理如下所示。

等相位座標標定方法示意圖

與前文方法所不同的是，先前爲固定對相機的每個像素進行進行標定，本方法的實質爲固定對投影儀的每個像素進行標定。由於每個像素所對應的相位值是一定的，故將其稱爲等相位座標標定。對於某一相位值 而言，其對應在兩個標定平面上的位置分別爲 與 。同樣利用相似性比例關係有：

故對於該點處實測到的相位 ，記錄其像素位置，再根據標定找出相同相位對應的位置 與 ，即可求算處其相對於標定零位面的高度爲：

本標定方法的相位值，與前文方法相同，同樣通過投影儀投射一根標準亮條紋確定真實相位所在的週期，再以該週期爲起始區域向四周解包裹得到所用的相位。相位 與其所在的位置 呈一定線性關係。爲了提高標定精度，一般同樣增加多個標定平面，利用最小二乘技術直接去將線性參數進行擬合。

等相位座標標定算法與同坐標相位標定算法相比，可有效消除由於高階諧波不當引起的誤差（高階諧波對於測量的影響會在今後的文章中介紹）。這是因爲等相位座標標定算法在標定中將這一誤差也耦合在裏標定關係中，這是同坐標相位標定算法所不能實現的。但是由於等相位座標標定算法需要亞像素定位，其定位由於只能通過插值來實現，故定位精度較差會對實際測量精度產生負面影響。

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