【算法】 二分查找

二分查找

• 看着是個最簡單的算法
• 沒想到細節很頭疼
• 細節是魔鬼啊
• 按照mid的計算：如果是奇數數組，mid 剛好在中間，如果是偶數，mid 是偏向於left的，所以mid 是比較容易 == left的

leecode標準二分查找

• 注意結束條件：lo > hi 這種情況就退出。lo == hi 可以：
• 循環結束的條件，當left==right的時候，說明範圍已經縮減到了最後一個能夠尋找的值，不管有沒有找到，結束了這次循環之後，整個搜索都應該結束（left>right沒有意義了）
• 關注內存
• 內存佔用很大？？

終止條件

• 注意， lo 可以== hi
• left > right （這種情況發生於當left, mid, right指向同一個數時，這個數還不是目標值，則整個查找結束。）
• 當循環終止的時候，如果找不到目標元素，一定是left>right，從邏輯內的計算可以發現一定是left == right+1。因爲最後一個循環一定是left == right == mid，在經過下面的right = mid-1或者left =mid+1計算之後，得到left == right+1。

注意

循環條件： left <= right
中間位置計算： mid = left + ((right -left) >> 1)
左邊界更新：left = mid + 1
右邊界更新： right = mid - 1
返回值： mid / -1
這裏有幾點需要注意：

• 我們的循環條件中包含了 left == right的情況，則我們必須在每次循環中改變 left 和 right的指向，以防止進入死循環
  循環終止的條件包括：

找到了目標值

• left > right （這種情況發生於當left, mid, right指向同一個數時，這個數還不是目標值，則整個查找結束。）

• left + ((right -left) >> 1) 其實和 (left + right) / 2是等價的，這樣寫的目的一個是爲了防止 (left + right)出現溢出，一個是用右移操作替代除法提升性能。

• left + ((right -left) >> 1) 對於目標區域長度爲奇數而言，是處於正中間的，對於長度爲偶數而言，是中間偏左的。因此左右邊界相遇時，只會是以下兩種情況：

• left/mid , right (left, mid 指向同一個數，right指向它的下一個數)

• left/mid/right （left, mid, right 指向同一個數）
  即因爲mid對於長度爲偶數的區間總是偏左的，所以當區間長度小於等於2時，mid 總是和 left在同一側。

• 我在leecode寫的：

class Solution {
public:
    int search(vector<int>& nums, int target) {
        int lo = 0 ; 
        int hi = nums.size() - 1; 
        while ( lo >=0 &&  hi >=0 )
        {
            if(lo > hi) //注意這裏
            {
                break;
            }
            int mid  =  lo + ((hi - lo)>>1); //注意有括號
            if(nums[mid] == target)
            {
                return mid;
            }
            if(nums[mid] < target)
            {
                lo = mid + 1; 
            }else if(nums[mid] > target )
            {
                hi = mid -1;
            }
        }
        return -1;
    }
};

mid 防止溢出

• labuladong
• 可以： int mid = lo + ((hi - lo)>>1); //注意有括號
  

二分查找算法詳解

大神labuladong 的 二分查找算法詳解

有一天阿東到圖書館借了 N 本書，出圖書館的時候，警報響了，於是保安把阿東攔下，要檢查一下哪本書沒有登記出借。阿東正準備把每一本書在報警器下過一下，以找出引發警報的書，但是保安露出不屑的眼神：你連二分查找都不會嗎？於是保安把書分成兩堆，讓第一堆過一下報警器，報警器響；於是再把這堆書分成兩堆…… 最終，檢測了 logN 次之後，保安成功的找到了那本引起警報的書，露出了得意和嘲諷的笑容。於是阿東揹着剩下的書走了。

從此，圖書館丟了 N - 1 本書。

二分查找真的很簡單嗎？並不簡單。看看 Knuth 大佬（發明 KMP 算法的那位）怎麼說的：

“
Although the basic idea of binary search is comparatively straightforward, the details can be surprisingly tricky…

這句話可以這樣理解：思路很簡單，細節是魔鬼。

本文就來探究幾個最常用的二分查找場景：尋找一個數、尋找左側邊界、尋找右側邊界。

而且，我們就是要深入細節，比如不等號是否應該帶等號，mid 是否應該加一等等。分析這些細節的差異以及出現這些差異的原因，保證你能靈活準確地寫出正確的二分查找算法。

零、二分查找框架

int binarySearch(int[] nums, int target) {
int left = 0, right = …;

while(...) {
    int mid = (right + left) / 2;
    if (nums[mid] == target) {
        ...
    } else if (nums[mid] < target) {
        left = ...
    } else if (nums[mid] > target) {
        right = ...
    }
}
return ...;

}

分析二分查找的一個技巧是：不要出現 else，而是把所有情況用 else if 寫清楚，這樣可以清楚地展現所有細節。本文都會使用 else if，旨在講清楚，讀者理解後可自行簡化。

其中…標記的部分，就是可能出現細節問題的地方，當你見到一個二分查找的代碼時，首先注意這幾個地方。後文用實例分析這些地方能有什麼樣的變化。

另外聲明一下，計算 mid 時需要技巧防止溢出，可以 參見前文，本文暫時忽略這個問題。

算法框架

一、尋找一個數（基本的二分搜索）

這個場景是最簡單的，可能也是大家最熟悉的，即搜索一個數，如果存在，返回其索引，否則返回 -1。

int binarySearch(int[] nums, int target) {
int left = 0;
int right = nums.length - 1; // 注意

while(left <= right) { // 注意
    int mid = (right + left) / 2;
    if(nums[mid] == target)
        return mid; 
    else if (nums[mid] < target)
        left = mid + 1; // 注意
    else if (nums[mid] > target)
        right = mid - 1; // 注意
    }
return -1;

}

1. 爲什麼 while 循環的條件中是 <=，而不是 < ？

答：因爲初始化 right 的賦值是 nums.length - 1，即最後一個元素的索引，而不是 nums.length。

這二者可能出現在不同功能的二分查找中，區別是：前者相當於兩端都閉區間 [left, right]，後者相當於左閉右開區間 [left, right)，因爲索引大小爲 nums.length 是越界的。

我們這個算法中使用的是 [left, right] 兩端都閉的區間。這個區間就是每次進行搜索的區間，我們不妨稱爲「搜索區間」。

什麼時候應該停止搜索呢？當然，找到了目標值的時候可以終止：

if(nums[mid] == target)
    return mid; 

但如果沒找到，就需要 while 循環終止，然後返回 -1。那 while 循環什麼時候應該終止？搜索區間爲空的時候應該終止，意味着你沒得找了，就等於沒找到嘛。

while(left <= right)的終止條件是 left == right + 1，**寫成區間的形式就是 [right + 1, right]，或者帶個具體的數字進去 [3, 2]，可見這時候搜索區間爲空，**因爲沒有數字既大於等於 3 又小於等於 2 的吧。所以這時候 while 循環終止是正確的，直接返回 -1 即可。

while(left < right)的終止條件是 left == right，寫成區間的形式就是 [right, right]，或者帶個具體的數字進去 [2, 2]，這時候搜索區間非空，還有一個數 2，但此時 while 循環終止了。也就是說這區間 [2, 2] 被漏掉了，索引 2 沒有被搜索，如果這時候直接返回 -1 就可能出現錯誤。

當然，如果你非要用 while(left < right) 也可以，我們已經知道了出錯的原因，就打個補丁好了：

//…
while(left < right) {
// …
}
return nums[left] == target ? left : -1;

2. 爲什麼 left = mid + 1，right = mid - 1？我看有的代碼是 right = mid 或者 left = mid，沒有這些加加減減，到底怎麼回事，怎麼判斷？

答：這也是二分查找的一個難點，不過只要你能理解前面的內容，就能夠很容易判斷。

剛纔明確了「搜索區間」這個概念，而且本算法的搜索區間是兩端都閉的，即 [left, right]。那麼當我們發現索引 mid 不是要找的 target 時，如何確定下一步的搜索區間呢？

當然是去搜索 [left, mid - 1] 或者 [mid + 1, right] 對不對？因爲 mid 已經搜索過，應該從搜索區間中去除。

3. 此算法有什麼缺陷？

答：至此，你應該已經掌握了該算法的所有細節，以及這樣處理的原因。但是，這個算法存在侷限性。

比如說給你有序數組 nums = [1,2,2,2,3]，target = 2，此算法返回的索引是 2，沒錯。但是如果我想得到 target 的左側邊界，即索引 1，或者我想得到 target 的右側邊界，即索引 3，這樣的話此算法是無法處理的。

這樣的需求很常見。你也許會說，找到一個 target 索引，然後向左或向右線性搜索不行嗎？可以，但是不好，因爲這樣難以保證二分查找對數級的複雜度了。

我們後續的算法就來討論這兩種二分查找的算法。

二、尋找左側邊界的二分搜索

直接看代碼，其中的標記是需要注意的細節：

int left_bound(int[] nums, int target) {
if (nums.length == 0) return -1;
int left = 0;
int right = nums.length; // 注意

while (left < right) { // 注意
    int mid = (left + right) / 2;
    if (nums[mid] == target) {
        right = mid;
    } else if (nums[mid] < target) {
        left = mid + 1;
    } else if (nums[mid] > target) {
        right = mid; // 注意
    }
}
return left;

}

1. 爲什麼 while(left < right) 而不是 <= ?

答：用相同的方法分析，因爲初始化 right = nums.length 而不是 nums.length - 1 。因此每次循環的「搜索區間」是 [left, right) 左閉右開。

while(left < right) 終止的條件是 left == right，此時搜索區間 [left, left) 恰巧爲空，所以可以正確終止。

2. 爲什麼沒有返回 -1 的操作？如果 nums 中不存在 target 這個值，怎麼辦？

答：因爲要一步一步來，先理解一下這個「左側邊界」有什麼特殊含義：

對於這個數組，算法會返回 1。這個 1 的含義可以這樣解讀：nums 中小於 2 的元素有 1 個。

比如對於有序數組 nums = [2,3,5,7], target = 1，算法會返回 0，含義是：nums 中小於 1 的元素有 0 個。如果 target = 8，算法會返回 4，含義是：nums 中小於 8 的元素有 4 個。

綜上可以看出，函數的返回值（即 left 變量的值）取值區間是閉區間 [0, nums.length]，所以我們簡單添加兩行代碼就能在正確的時候 return -1：

while (left < right) {
//…
}
// target 比所有數都大
if (left == nums.length) return -1;
// 類似之前算法的處理方式
return nums[left] == target ? left : -1;

3. 爲什麼 left = mid + 1，right = mid ？和之前的算法不一樣？

答：這個很好解釋，因爲我們的「搜索區間」是 [left, right) 左閉右開，所以當 nums[mid] 被檢測之後，下一步的搜索區間應該去掉 mid 分割成兩個區間，即 [left, mid) 或 [mid + 1, right)。

4. 爲什麼該算法能夠搜索左側邊界？

答：關鍵在於對於 nums[mid] == target 這種情況的處理：

if (nums[mid] == target)
    right = mid;

可見，找到 target 時不要立即返回，而是縮小「搜索區間」的上界 right，在區間 [left, mid) 中繼續搜索，即不斷向左收縮，達到鎖定左側邊界的目的。

5. 爲什麼返回 left 而不是 right？

答：都是一樣的，因爲 while 終止的條件是 left == right。

三、尋找右側邊界的二分查找

尋找右側邊界和尋找左側邊界的代碼差不多，只有兩處不同，已標註：

int right_bound(int[] nums, int target) {
if (nums.length == 0) return -1;
int left = 0, right = nums.length;

while (left < right) {
    int mid = (left + right) / 2;
    if (nums[mid] == target) {
        left = mid + 1; // 注意
    } else if (nums[mid] < target) {
        left = mid + 1;
    } else if (nums[mid] > target) {
        right = mid;
    }
}
return left - 1; // 注意

}

1. 爲什麼這個算法能夠找到右側邊界？

答：類似地，關鍵點還是這裏：

if (nums[mid] == target) {
    left = mid + 1;

當 nums[mid] == target 時，不要立即返回，而是增大「搜索區間」的下界 left，使得區間不斷向右收縮，達到鎖定右側邊界的目的。

2. 爲什麼最後返回 left - 1 而不像左側邊界的函數，返回 left？而且我覺得這裏既然是搜索右側邊界，應該返回 right 纔對。

答：首先，while 循環的終止條件是 left == right，所以 left 和 right 是一樣的，你非要體現右側的特點，返回 right - 1 好了。

至於爲什麼要減一，這是搜索右側邊界的一個特殊點，關鍵在這個條件判斷：

if (nums[mid] == target) {
    left = mid + 1;
    // 這樣想: mid = left - 1

因爲我們對 left 的更新必須是 left = mid + 1，就是說 while 循環結束時，nums[left] 一定不等於 target 了，而 nums[left - 1] 可能是 target。

至於爲什麼 left 的更新必須是 left = mid + 1，同左側邊界搜索，就不再贅述。

3. 爲什麼沒有返回 -1 的操作？如果 nums 中不存在 target 這個值，怎麼辦？

答：類似之前的左側邊界搜索，因爲 while 的終止條件是 left == right，就是說 left 的取值範圍是 [0, nums.length]，所以可以添加兩行代碼，正確地返回 -1：

while (left < right) {
// …
}
if (left == 0) return -1;
return nums[left-1] == target ? (left-1) : -1;

四、最後總結

先來梳理一下這些細節差異的因果邏輯：

第一個，最基本的二分查找算法：

因爲我們初始化 right = nums.length - 1
所以決定了我們的「搜索區間」是 [left, right]
所以決定了 while (left <= right)
同時也決定了 left = mid+1 和 right = mid-1

因爲我們只需找到一個 target 的索引即可
所以當 nums[mid] == target 時可以立即返回

第二個，尋找左側邊界的二分查找：

因爲我們初始化 right = nums.length
所以決定了我們的「搜索區間」是 [left, right)
所以決定了 while (left < right)
同時也決定了 left = mid+1 和 right = mid

因爲我們需找到 target 的最左側索引
所以當 nums[mid] == target 時不要立即返回
而要收緊右側邊界以鎖定左側邊界

第三個，尋找右側邊界的二分查找：

因爲我們初始化 right = nums.length
所以決定了我們的「搜索區間」是 [left, right)
所以決定了 while (left < right)
同時也決定了 left = mid+1 和 right = mid

因爲我們需找到 target 的最右側索引
所以當 nums[mid] == target 時不要立即返回
而要收緊左側邊界以鎖定右側邊界

又因爲收緊左側邊界時必須 left = mid + 1
所以最後無論返回 left 還是 right，必須減一

如果以上內容你都能理解，那麼恭喜你，二分查找算法的細節不過如此。

通過本文，你學會了：

1. 分析二分查找代碼時，不要出現 else，全部展開成 else if 方便理解。

2. 注意「搜索區間」和 while 的終止條件，如果存在漏掉的元素，記得在最後檢查。

3. 如需要搜索左右邊界，只要在 nums[mid] == target 時做修改即可。搜索右側時需要減一。

就算遇到其他的二分查找變形，運用這幾點技巧，也能保證你寫出正確的代碼。LeetCode Explore 中有二分查找的專項練習，其中提供了三種不同的代碼模板，現在你再去看看，很容易就知道這幾個模板的實現原理了。

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