分治法：歸併排序分析

目錄

一.分而治之

二.歸併排序性能分析

---

一.分而治之:

---

遞歸算法的複雜度計算方法：

1、代入法

2、遞歸樹法 P50

3、主方法 

---

二.歸併排序性能分析:

---

假設求解規模爲n的問題耗時爲，當n=1，。當n>1時，根據分治法按以下步驟對問題進行處理：

1. 分解：將規模爲n分解爲a個規模爲的問題，假設分解耗時爲；
2. 求解：求解a個規模爲的問題，則求解這些問題的時間爲；
3. 合併：將a個規模爲的問題合併。假設該過程耗時爲。

經過上述處理，可得到：

                    （1）

 

在歸併法中，分解、求解、合併操作的耗時如下

1. 分解：分解操作爲，耗時爲常量，則。
2. 求解：歸併法中，分解操作是將規模爲n的問題分解成2個規模爲的問題，則；
3. 合併：歸併法的合併操作的僞代碼和耗時如表1所示，其中，明顯可得。

                     表1

MERGER(A,p,q,r)                        代價  次數

1. n1=q-p+1                         c1     1    
2. n2=r-q                           c2     1
3. 新建數組L和R                     c3     1
4. for i=1 to n1                    c4     n/2            
5.     L[i]=A[p+i-1]                c5     n/2    
6. for j=1 to n2                    c6     n/2  
7.     R[j]=A[q+j]                  c7     n/2  
8. L[n1+1]=∞                       c8     1
9. R[n2+1]=∞                       c9     1
10. i=1                              c10    1
11. j=1                              c11    1
12. for k = p to r                   c12    n
13.     if L[i]≤R[j]                c13    n
14.         A[k]=L[i]                c14    t
15.         i = i + 1                c15    t
16.     else A[k]=R[j]               c16    n-t
17.         j = j + 1                c17    n-t

假設處理規模爲1的問題和在分解和合並操作中處理每個元素的耗時的上界爲常數c，則，

因此公式1可變成                           （2）

                 

公式（2）不斷迭代分解後可得：

     

假設經過k次分解後，達到規模爲1的問題，即，所以，代入上述公式可得

歸併排序小結

    1.歸併排序的時間複雜度爲O(nlgn), 空間複雜度爲O(n)

    2. 歸併排序屬於穩定排序，即排序前後相等元素的先後順序不變，這是在O(nlgn)系列算法中（比如快速排序）少有的穩定排序算法

    3. 在計算mid = (low + high) / 2時，如果low和high很大，則可能發生溢出，可將式子轉換爲mid = low + (high - low) / 2

    4. 書上僞代碼是在每次merge時分配臨時空間，這樣多次分配釋放會影響效率，可以預先分配O(n)的空間作爲參數傳給merge函數

    5. 歸併排序可用於外排序。當我們要對一個很大的數據文件排序（文件不能一次裝入內存），可以將其分段讀入內存排序後寫回（或寫到臨時文件），然後再使用歸併算法合併已排序的多個子文件

    6. 類似的，如果要合併兩個特別大的有序序列，去除重複元素，或者是找出相同元素，也可以採用merge的思想