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一、康託展開：全排列到一個自然數的雙射
X=an*(n-1)!+an-1*(n-2)!+...+ai*(i-1)!+...+a2*1!+a1*0!
ai爲整數，並且0<=ai<i(1<=i<=n)，其中ai爲小於上一個數字的個數。
適用範圍：沒有重複元素的全排列
二、全排列的編碼：
{1,2,3,4,...,n}的排列總共有n!種，將它們從小到大排序，怎樣知道其中一種排列是有序序列中的第幾個？
如 {1,2,3} 按從小到大排列一共6個：123 132 213 231 312 321。想知道321是{1,2,3}中第幾個大的數。
這樣考慮：第一位是3，小於3的數有1、2 。所以有2*2!個。再看小於第二位，小於2的數只有一個就是1 ，所以有1*1!=1 所以小於32
的{1,2,3}排列數有2*2!+1*1!=5個。所以321是第6個大的數。2*2!+1*1!是康託展開。（注意判斷排列是第幾個時要在康託展開的結果後+1）
再舉個例子：1324是{1,2,3,4}排列數中第幾個大的數：第一位是1小於1的數沒有，是0個，0*3!，第二位是3小於3的數有1和2，但1已經在第一位了，所以只有一個數2，1*2! 。第三位是2小於2的數是1，但1在第一位，所以有0個數，0*1!，所以比1324小的排列有0*3!+1*2!+0*1!=2個，1324是第三個大數。
又例如，排列3 5 7 4 1 2 9 6 8展開爲98884，因爲X=2*8!+3*7!+4*6!+2*5!+0*4!+0*3!+2*2!+0*1!+0*0!=98884.
解釋：
排列的第一位是3，比3小的數有兩個，以這樣的數開始的排列有8!個，因此第一項爲2*8!
排列的第二位是5，比5小的數有1、2、3、4，由於3已經出現，因此共有3個比5小的數，這樣的排列有7!個，因此第二項爲3*7!
以此類推，直至0*0!
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#include<cstdio>
const
int
fac[] = {1, 1, 2, 6, 24, 120, 720, 5040, 40320};///階乘
int
KT(int
s[], int
n) {
int
i, j, cnt, sum; sum
= 0; for
(i = 0; i < n; ++i) {
cnt
= 0; for
(j = i + 1; j < n; ++j) if
(s[j] < s[i]) ++cnt; sum
+= cnt * fac[n - i - 1]; }
return
sum; }
int
main() {
int
a[] = {3, 5, 7, 4, 1, 2, 9, 6, 8}; printf("%d\n",
1 + KT(a, sizeof(a)
/ sizeof(*a)));
///1+98884
}
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三、全排列的解碼
如何找出第16個（按字典序的）{1,2,3,4,5}的全排列？
1. 首先用16-1得到15
2. 用15去除4! 得到0餘15
3. 用15去除3! 得到2餘3
4. 用3去除2! 得到1餘1
5. 用1去除1! 得到1餘0
有0個數比它小的數是1，所以第一位是1
有2個數比它小的數是3，但1已經在之前出現過了所以是4
有1個數比它小的數是2，但1已經在之前出現過了所以是3
有1個數比它小的數是2，但1,3,4都出現過了所以是5
最後一個數只能是2
所以排列爲1 4 3 5 2
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#include<cstdio>
#include<cstring>
const
int
fac[] = {1, 1, 2, 6, 24, 120, 720, 5040, 40320};///階乘
bool
vis[10]; ///n爲ans大小，k爲全排列的編碼
void
invKT(int
ans[], int
n, int
k) {
int
i, j, t; memset(vis,
0, sizeof(vis));
--k;
for
(i = 0; i < n; ++i) {
t
= k / fac[n - i - 1]; for
(j = 1; j <= n; j++) if
(!vis[j]) {
if
(t == 0) break;
--t;
}
ans[i]
= j, vis[j] = true;
k
%= fac[n - i - 1];///餘數
}
}
int
main() {
int
a[10]; invKT(a,
5, 16); for
(int
i = 0; i < 5; ++i) printf("%d
",
a[i]);///1
4 3 5 2 }
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