X快速前綴樹

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title: X快速前綴樹
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date: 2020-03-16 17:51:11
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X快速前綴樹

   我以前就說過，當你的數據結構達到了一定的基礎，就可以學習那些更加高級的數據結構了，往往那些更加高級的數據結構由基本數據結構組合而成。

先提出一個問題

   現在要你維護一個多重集合，支持3種操作，1詢問一個值(這個值不一定在集合中)的前驅和後繼，2向集合中插入一個元素，3從集合中刪掉一個元素，1操作$10^6$次，2操作$10^5$次，3操作$10^5$,要求你在1S內完成回答。保證集合元素都小於M=$10^6$

普通平衡樹？

   我們考慮到上面三種操作都是普通平衡樹常見的操作，很多人可能就直接拿起他自己的平衡樹上了。很遺憾，大概率是無法通過的。因爲操作次數太多了。

觀察，思考

   我們的操作需要的是大量的查詢，大量、大量，你個普通平衡樹怎麼操作的過來？

新的平衡樹

   現在我們提出一個新的平衡樹，這個平衡樹非常厲害，他支持$O(lgM)$的時間來刪除和插入，支持$O(lglgM)$的時間來查詢前驅後繼。

X快速前綴樹

   字典樹+哈希表+維護葉子節點的雙向鏈表+二分
   首先，我們先建立一顆普通的01字典樹，這個樹我們對他稍作修改，考慮到字典樹的節點分3類： 葉子節點、根節點、內部節點，我們讓葉子節點間構造雙向環狀鏈表，其次，對於僅有左兒子的內部節點，讓其右兒子指向子樹的最小葉子節點，對於僅有右兒子的內部節點，讓其左兒子指向子樹的最大葉子節點。另一方面，我們對字典樹的每一層都建立一個hash表，hash掉他們節點所代表的值是有還是沒有，這樣我們就構造出了一個X快速前綴樹的模型了。
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X快速前綴樹的查找

   假設我們要找一個數k，我們在樹上尋找樹和k的lca[最低公共祖先]，這個過程可以只要在hash表中二分即可知道lca在哪一個節點，可以證明，這個節點要麼沒有左兒子，要麼沒有右兒子。如果有的話，他的兒子和k的lcp[最長公共前綴]一定更長，但是這與他自己是lca的事實相悖。另一方面，由於我們的單兒子節點儲存了最值信息，如果這個節點沒有右兒子，則他的右兒子指向的值是k的前驅，至於後繼，在葉子節點的鏈表上後移一個單位即可。這個過程總複雜度在二分lca上，樹的高度爲lgn，二分高度，所以總體複雜度爲$O(lglgn)$

X快速前綴樹的插入

   找出lca，若lca沒有右兒子，則說明當前節點要插入到右兒子裏面。照着做就行了，同時注意向下遞歸的時候把值也插入到hash表裏面，遞歸到葉子的時候重新連接雙向環狀鏈表(前驅和後繼)，最後回溯的時候維護單兒子節點的信息，以及樹根方面的值就行了。

X快速前綴樹的刪除

   找到待刪除節點，然後刪掉，重新維護葉子鏈表，回溯的時候從hash表裏面刪掉自己，對於單兒子的節點也要根據子樹回溯即可。