RSA算法和證明

1977 年由羅納德·李維斯特（Ron Rivest）、阿迪·薩莫爾（Adi Shamir）和倫納德·阿德曼 （Leonard Adleman）一起提出，因此名爲 RSA 算法。

RSA 算法中公私鑰的產生

1	隨機選擇兩個不相等的質數 p 和 q	p = 11, q = 29
2	計算 p 和 q 的乘積 n（明文小於 n）	n = p× q = 11 * 29 = 319
3	計算 n 的歐拉函數 v=φ(n)	歐拉函數是小於或等於n的正整數中與n互質的數的數目。所謂的互質，就是最大公約數爲1。 φ(8)，中1~8與8互質的數由1,3,5,7，因此 φ(8)=4。 歐拉函數是積性函數：若m,n互質，φ(mn) =φ(m)φ(n) 。 由於p、q都是質數，φ(p)=p-1，φ(q)=q-1，那麼，φ(n)=φ(pq)=φ(p)φ(q)=(p-1)(q-1) v=φ(319)=(11-1)(29-1) = 280
4	隨機選擇一個整數 k 1< k < v，且 k 與 v 互質	例子選擇 k = 187
5	計算 k 對於 v 的模反元素 d	(d × k）%v = 1。也就是在模 v 中的 d ≡ k-1 (mod v) 例子結果爲3 （3*187）% 280 = 561%280 = 1
6	公鑰：(k,n)	（187,319）
7	私鑰：(d,n)	（3,319）

RSA 算法加解密流程

1	加密 c ≡ m^k (mod n)，m 爲明文，c爲密文	明文123。 以公鑰加密：c≡123^187≡161（mod 319) 以私鑰加密：c≡123^3≡140（mod 319)
2	解密 m ≡ c^d (mod n)	以私鑰加密，用公鑰解密；以公鑰加密，用私鑰解密 以公鑰加密，以私鑰解密：m≡161^3≡123（mod 319) 以私鑰加密，以公鑰解密：m≡140^187≡123（mod 319)

證明

條件和相關的定理

推導 

網上不少資料在推導中，只是給出了第一種情況，即明文m和n=qp互質的情況，如果q和p的數值遠大於m是沒有問題，但是不見得這個條件成立，而且也無需這個條件。第二種情況，對於我這種數學渣渣來講，是很精巧的計算，參考自 https://wenku.baidu.com/view/5200777565ce05087732133e.html