判斷素數（從暴力篩選，到線性篩選和優化）

【Prime Number】
素數定義：素數就是質數，指出了“1”和他本身，沒有其他因數的數字，
0,1不是素數，第一個素數是2，依次是2,3,5,7,11……
以搜索1000以內的素數爲例，判斷出來的素數存放於一維數組中。
1、一般遍歷（雙重循環）
    採用雙重循環，表層循環遊標 J 負責遍歷2-1000，內層遊標K的範圍是[2,根號J]，在內層遊標遍歷的過程中，如果
表層循環遊標J如果能整除K，則說明J代表的數字不是素數，當K遍歷完[2,根號J]，仍沒找到因數，說明J是個素數。存入數組。

#include <math.h>
#include <stdio.h>

#define Max 1000    //Max = 1e3 =1 * 10的3次方，即一千
int sushu[Max]={0},count=1;     //保存素數在數組中,count計數素數個數
void prime();

int main(){
    prime();
    int i;
    for(i=1; i<Max; i++){
        if(sushu[i] == 0){
            break;
        }
        printf("%3d ",sushu[i]);
        if(i%10 == 0){
            printf("\n");
        }
    }
    return 0;
}

void prime(){
    int total;      //每次循環等於 sqrt(j),取[ 2,sqrt(j) )區間判斷素數
    int j,k;
    for(j=2; j<Max; j++){
        total=sqrt(j);
        for(k=2; k<=total; k++){
            if(j%k == 0){
                break;
            }
        }
        if(k > total){
            sushu[count++]=j;
        }
    }
}

2、埃氏篩選（未優化的線性篩選）
    我們知道合數（非素數）是可以用素數的倍數表示，有的更可以用兩個合數表示，所以篩選出素數同時，篩掉素數的倍數。篩掉的合數，也可以用來篩掉合數的倍數。
    例如，2是素數，則篩掉4,6等，篩掉了在IsPrime數組置零，表示非素數，下一步3是素數，篩掉6,9等，因爲在2處，4被篩掉了，執行篩選會篩掉8，篩選5，
    5是素數，就有篩掉10,15之類，依次類推，6篩掉了，篩掉12等，下一個7……
    這樣我們篩選出非素數的速度高於篩出素數，保證篩出的都是素數（1000以內素數168個，遠遠少於合數）
    篩選的方法，sushu[]數組負責存儲素數，IsPrime[]數組每一位數組元素，代表數組下標數字是不是素數，0代表不是，1代表是。負責協助存儲素數。
    剛開始假設2-1000全部都是素數，所以IsPrime[]剛開始全部初始化爲0。我們知道這個第一個素數是2，所以就有
    for(j=2; j<Max; j++){
                if(IsPrime[j]){         //IsPrime[j]=1,說明是素數
                        sushu[count++]=j;
                }
                for(k=j*2; k<=Max; k+=j){
                        IsPrime[k]=0;
                }
    }
    J的for循環，提供便利2-1000，if根據IsPrime數組判斷是否爲素數，內層的遊標爲K的for循環，負責篩出素數後繼續篩出他的倍數，如果當前遍歷到的是非素數，
    則篩非素數的倍數，這樣就把大量的非素數篩除出去了。

#include <stdio.h>

#define Max 1000
int sushu[Max]={0},count=1;     //sushu數組用來保存1000以內素數，count作爲下標
int IsPrime[Max];
//int IsPrime[Max]={1};          //IsPrime數組0代表不是素數，1代表是素數
                                //用來協助篩選素數，剛開始認爲所有數字都是素數
void prime();

int main(){
    prime();
    int i=1;
    for(; i<Max; i++){
        if(sushu[i] == 0){
            break;
        }
        printf("%3d ",sushu[i]);
        if(i%10 == 0){
            printf("\n");
        }
    }
    return 0;
}

void prime(){
    memset(IsPrime,1,sizeof(IsPrime));
    IsPrime[0]=IsPrime[1] =0;   //0,1不是素數，第一個素數是2
    int j,k;
    for(j=2; j<Max; j++){
        if(IsPrime[j]){         //IsPrime[j]=1,說明是素數
            sushu[count++]=j;
        }
        for(k=j*2; k<=Max; k+=j){
            IsPrime[k]=0;
        }
    }


}

3、優化後的線性篩選（歐拉篩選）
    主要是優化了像是素數2,3都會篩除6這樣的重複。

#include <stdio.h>

#define Max 1000
int sushu[Max]={0},count=1;     //sushu數組用來保存1000以內素數，count作爲下標
int IsPrime[Max];
//int IsPrime[Max]={1};          //IsPrime數組0代表不是素數，1代表是素數
                                //用來協助篩選素數，剛開始認爲所有數字都是素數
void prime();

int main(){
    prime();
    int i=1;
    for(; i<Max; i++){
        if(sushu[i] == 0){
            break;
        }
        printf("%3d ",sushu[i]);
        if(i%10 == 0){
            printf("\n");
        }
    }
    return 0;
}

void prime(){
    memset(IsPrime,1,sizeof(IsPrime));
    IsPrime[0]=IsPrime[1] =0;       //與上同理
    int j,k;
    for(j=2; j<Max; j++){
        if(IsPrime[j]){
            sushu[count++]=j;
        }
        for(k=1; k<count && sushu[k]*j<Max; k++){
            IsPrime[sushu[k]*j]=0;
        }
    }
}

4、區間篩選
    假設篩選[a,b)區間，所以先篩出[2,根號b)的素數，然後篩出[2，根號a)的素數，兩者減去重疊就好了。不多說了
5、源碼+思考+理解
    數據結構部分會繼續更新，即使環境惡劣

附圖：1000以內的素數表，共168個素數，2開始，997結束。（左圖爲素數表，右圖爲程序運行結構）