圖的代數表示方法通常有兩種
- 鄰接矩陣
- 關聯矩陣
對於圖G=(V,E), 點數爲n，邊數爲m；
1. 鄰接矩陣A
1.1 定義
行爲頂點，列也爲頂點 的n*n矩陣。矩陣元素aij=vi與vj之間關聯的邊數。
若vi與vj不鄰接，則aij=0.
1.2 性質
A是非負的、對稱的；
A. 同一圖的不同形式的鄰接矩陣是相似矩陣。
B.若G爲簡單圖，則A(G)是布爾型矩陣；行、列和分別等於對應頂點的度數；矩陣元素總和爲圖的總度數。
C. G是連通的充要條件: A(G)不能與塊對角矩陣相似，即不能與如下矩陣相似:
證明：
必要性：反證法。
如果連通圖G與塊對角矩陣相似，設A11對應頂點{v1,v2,...,vk},A22對應頂點{vk+1,vk+2,...vn}
顯然，vi與vj不連通(i≤k<j),與G是連通圖矛盾！
充分性：反證法。
A(G)不與塊對角矩陣相似時，若G不聯通，則設G1與G2是兩個不連通的部分。
必然可以構造出塊對角矩陣的A(G)，從而與A(G)不與塊對角矩陣相似矛盾！
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重要定理:
D. 對任意圖G, 若
意義：建立了圖結構與圖代數表示之間的關係。
證明：由數學歸納法證明。
k=1時顯然成立；
假設結論對(k-1)成立;
則當爲k時，一方面，通過A^(k)=A^(k-1)*A計算出
推論：
當G爲簡單圖時，
2. 圖的關聯矩陣
2.1 定義
G是(n,m)圖，則關聯矩陣M(G)爲n*m的矩陣，其中每行表示一個頂點；每列表示一條邊。M(G)中的元素aij取值爲點vi與邊ej的關聯數。不關聯時，取值爲0；邊取值爲1；環取值爲2.
2.2 性質
關聯矩陣可以用來證明握手定理：每行和爲改行對應的點的度數，故按行求和相加結果爲所有頂點度數和。每列和爲2，按行求和相加結果爲邊數的兩倍。顯然，二者相等，即握手定理。