机器学习代价函数，损失函数理解

机器学习常见的代价函数

代价函数也被称为平方误差函数，有时也被称为平方误差代价函数，之所以要出误差的平方和，是因为误差平方代价函数对于大多数问题，特别是回归问题，都是一个合理的选择。
（1）二次代价函数（quadratic cost）：
$J = \frac{1}{2n}\sum_x\Vert y(x)-a^L(x)\Vert^2$
​ 其中，$J$表示代价函数，$x$表示样本，$y$表示实际值，$a$表示输出值，$n$表示样本的总数。使用一个样本为例简单说明，此时二次代价函数为：
$J = \frac{(y-a)^2}{2}$
​ 假如使用梯度下降法（Gradient descent）来调整权值参数的大小，权值$w$和偏置$b$的梯度推导如下：
$\frac{\partial J}{\partial b}=(a-y)\sigma'(z)$
其中，$z$表示神经元的输入，$\sigma$表示激活函数。权值$w$和偏置$b$的梯度跟激活函数的梯度成正比，激活函数的梯度越大，权值$w$和偏置$b$的大小调整得越快，训练收敛得就越快。

（2）交叉熵代价函数（cross-entropy）：
$J = -\frac{1}{n}\sum_x[y\ln a + (1-y)\ln{(1-a)}]$
其中，$J$表示代价函数，$x$表示样本，$y$表示实际值，$a$表示输出值，$n$表示样本的总数。
权值$w$和偏置$b$的梯度推导如下：
$\frac{\partial J}{\partial w_j}=\frac{1}{n}\sum_{x}x_j(\sigma{(z)}-y)\;， \frac{\partial J}{\partial b}=\frac{1}{n}\sum_{x}(\sigma{(z)}-y)$
当误差越大时，梯度就越大，权值$w$和偏置$b$调整就越快，训练的速度也就越快。
二次代价函数适合输出神经元是线性的情况，交叉熵代价函数适合输出神经元是S型函数的情况。

（3）对数似然代价函数（log-likelihood cost）：
对数似然函数常用来作为softmax回归的代价函数。深度学习中普遍的做法是将softmax作为最后一层，此时常用的代价函数是对数似然代价函数。
对数似然代价函数与softmax的组合和交叉熵与sigmoid函数的组合非常相似。对数似然代价函数在二分类时可以化简为交叉熵代价函数的形式。
在tensorflow中：
与sigmoid搭配使用的交叉熵函数：tf.nn.sigmoid_cross_entropy_with_logits()。
与softmax搭配使用的交叉熵函数：tf.nn.softmax_cross_entropy_with_logits()。
在pytorch中：
与sigmoid搭配使用的交叉熵函数：torch.nn.BCEWithLogitsLoss()。
与softmax搭配使用的交叉熵函数：torch.nn.CrossEntropyLoss()。
### 用交叉熵代替二次代价函数

（1）为什么不用二次方代价函数
由上一节可知，权值$w$和偏置$b$的偏导数为$\frac{\partial J}{\partial w}=(a-y)\sigma'(z)x$，$\frac{\partial J}{\partial b}=(a-y)\sigma'(z)$， 偏导数受激活函数的导数影响，sigmoid函数导数在输出接近0和1时非常小，会导致一些实例在刚开始训练时学习得非常慢。

（2）为什么要用交叉熵
交叉熵函数权值$w$和偏置$b$的梯度推导为：
$\frac{\partial J}{\partial w_j}=\frac{1}{n}\sum_{x}x_j(\sigma{(z)}-y)\;， \frac{\partial J}{\partial b}=\frac{1}{n}\sum_{x}(\sigma{(z)}-y)$
由以上公式可知，权重学习的速度受到$\sigma{(z)}-y$影响，更大的误差，就有更快的学习速度，避免了二次代价函数方程中因$\sigma'{(z)}$导致的学习缓慢的情况。

2. 损失函数

2.1 什么是损失函数

​ 损失函数（Loss Function）又叫做误差函数，用来衡量算法的运行情况，估量模型的预测值与真实值的不一致程度，是一个非负实值函数，通常使用$
L(Y, f(x))$来表示。损失函数越小，模型的鲁棒性就越好。损失函数是经验风险函数的核心部分，也是结构风险函数重要组成部分。

2.2 常见的损失函数

​ 机器学习通过对算法中的目标函数进行不断求解优化，得到最终想要的结果。分类和回归问题中，通常使用损失函数或代价函数作为目标函数。
​ 损失函数用来评价预测值和真实值不一样的程度。通常损失函数越好，模型的性能也越好。
​ 损失函数可分为经验风险损失函数和结构风险损失函数。经验风险损失函数指预测结果和实际结果的差别，结构风险损失函数是在经验风险损失函数上加上正则项。
​ 下面介绍常用的损失函数：

（1）0-1损失函数
如果预测值和目标值相等，值为0，如果不相等，值为1。
$L(Y, f(x)) = \begin{cases} 1,& Y\ne f(x)\\ 0,& Y = f(x) \end{cases}$
一般的在实际使用中，相等的条件过于严格，可适当放宽条件：
$L(Y, f(x)) = \begin{cases} 1,& |Y-f(x)|\geqslant T\\ 0,& |Y-f(x)|< T \end{cases}$
（2）绝对值损失函数
和0-1损失函数相似，绝对值损失函数表示为：
$L(Y, f(x)) = |Y-f(x)|​$
（3）平方损失函数
$L(Y, f(x)) = \sum_N{(Y-f(x))}^2$
这点可从最小二乘法和欧几里得距离角度理解。最小二乘法的原理是，最优拟合曲线应该使所有点到回归直线的距离和最小。

（4）对数损失函数
$L(Y, P(Y|X)) = -\log{P(Y|X)}$
​ 常见的逻辑回归使用的就是对数损失函数，有很多人认为逻辑回归的损失函数是平方损失，其实不然。逻辑回归它假设样本服从伯努利分布（0-1分布），进而求得满足该分布的似然函数，接着取对数求极值等。逻辑回归推导出的经验风险函数是最小化负的似然函数，从损失函数的角度看，就是对数损失函数。

（6）指数损失函数
指数损失函数的标准形式为：
$L(Y, f(x)) = \exp(-Yf(x))$
例如AdaBoost就是以指数损失函数为损失函数。

（7）Hinge损失函数
Hinge损失函数的标准形式如下：
$L(y) = \max{(0, 1-ty)}$
统一的形式：
$L(Y, f(x)) = \max{(0, Yf(x))}$
其中y是预测值，范围为(-1,1)，t为目标值，其为-1或1。

在线性支持向量机中，最优化问题可等价于
$\underset{\min}{w,b}\sum_{i=1}^N (1-y_i(wx_i+b))+\lambda\Vert w\Vert ^2$
上式相似于下式
$\frac{1}{m}\sum_{i=1}^{N}l(wx_i+by_i) + \Vert w\Vert ^2$
其中$l(wx_i+by_i)$是Hinge损失函数，$\Vert w\Vert ^2$可看做为正则化项。