求组合数总结

Educational Codeforces Round 83 (Rated for Div. 2)的D题所用到的Lucas定理，小编看了多篇博文后总结了一下，他其实是求组合数的一种方法，求组合数总共有以下几种方法。
1.当数据范围较小时，差不多1000左右，直接用递归打表求，这里用到原理就是从n个球取m个球，相当于（取第n个，然后从前n-1个再取m-1个 + 不取第n个，从前n-1个取m个）即c[i][j] = (c[i - 1][j] + c[i - 1][j - 1])

for (int i = 0; i < N; i ++ )
    for (int j = 0; j <= i; j ++ )
        if (!j) c[i][j] = 1;
        else c[i][j] = (c[i - 1][j] + c[i - 1][j - 1]) % mod;

2.当数据范围中等，差不多是10e5 ,可以用逆元求解，为什么能用逆元求解，小编懒得码字了，大家百度一下就行，原理也很简单。
预处理出所有阶乘取模的余数fact[N]和所有阶乘取模的逆元infact[N]，这里用到的公式就是C（a,b）=a! / b!(a-b)! ,这样的话相当于a! * 逆元。，当p是质数的情况下直接用费马小定理求解。

int qmi(int a, int k, int p)    // 快速幂模板
{
    int res = 1;
    while (k)
    {
        if (k & 1) res = (LL)res * a % p;
        a = (LL)a * a % p;
        k >>= 1;
    }
    return res;
}

// 预处理阶乘的余数和阶乘逆元的余数
fact[0] = infact[0] = 1;
for (int i = 1; i < N; i ++ )
{
    fact[i] = (LL)fact[i - 1] * i % mod;
    infact[i] = (LL)infact[i - 1] * qmi(i, mod - 2, mod) % mod;
}
//结果=fact[a]*infact[b]

当数据范围到1e9的时候，这时候就用到Lucas定理了。
内容：

C(n, m) = C(n % p, m % p) * C(n / p, m / p) (mod p)

别问怎么证，问就是不会，代码也简单 y总板子
这里值得注意的就是，mod同样不能太大

//若p是质数，则对于任意整数 1 <= m <= n，有：
  //  C(n, m) = C(n % p, m % p) * C(n / p, m / p) (mod p)

int qmi(int a, int k)       // 快速幂模板
{
    int res = 1;
    while (k)
    {
        if (k & 1) res = (LL)res * a % p;
        a = (LL)a * a % p;
        k >>= 1;
    }
    return res;
}


int C(int a, int b)     // 通过定理求组合数C(a, b)
{
    int res = 1;
    for (int i = 1, j = a; i <= b; i ++, j -- )
    {
        res = (LL)res * j % p;
        res = (LL)res * qmi(i, p - 2) % p;
    }
    return res;
}


int lucas(LL a, LL b)
{
    if (a < p && b < p) return C(a, b);
    return (LL)C(a % p, b % p) * lucas(a / p, b / p) % p;
}

上面都是取模一个数，假如不取模的时候还要去求C（n,m）时候，就用到了分解质因数法求组合数.板子还是用y总的，链接见上面。

/*当我们需要求出组合数的真实值，而非对某个数的余数时，分解质因数的方式比较好用：
    1. 筛法求出范围内的所有质数
    2. 通过 C(a, b) = a! / b! / (a - b)! 这个公式求出每个质因子的次数。 n! 中p的次数是 n / p + n / p^2 + n / p^3 + ...
    3. 用高精度乘法将所有质因子相乘*/

int primes[N], cnt;     // 存储所有质数
int sum[N];     // 存储每个质数的次数
bool st[N];     // 存储每个数是否已被筛掉


void get_primes(int n)      // 线性筛法求素数
{
    for (int i = 2; i <= n; i ++ )
    {
        if (!st[i]) primes[cnt ++ ] = i;
        for (int j = 0; primes[j] <= n / i; j ++ )
        {
            st[primes[j] * i] = true;
            if (i % primes[j] == 0) break;
        }
    }
}


int get(int n, int p)       // 求n！中的次数
{
    int res = 0;
    while (n)
    {
        res += n / p;
        n /= p;
    }
    return res;
}


vector<int> mul(vector<int> a, int b)       // 高精度乘低精度模板
{
    vector<int> c;
    int t = 0;
    for (int i = 0; i < a.size(); i ++ )
    {
        t += a[i] * b;
        c.push_back(t % 10);
        t /= 10;
    }

    while (t)
    {
        c.push_back(t % 10);
        t /= 10;
    }

    return c;
}

get_primes(a);  // 预处理范围内的所有质数

for (int i = 0; i < cnt; i ++ )     // 求每个质因数的次数
{
    int p = primes[i];
    sum[i] = get(a, p) - get(b, p) - get(a - b, p);
}

vector<int> res;
res.push_back(1);

for (int i = 0; i < cnt; i ++ )     // 用高精度乘法将所有质因子相乘
    for (int j = 0; j < sum[i]; j ++ )
        res = mul(res, primes[i]);

总的来说，Lucas定理还是挺简单的，一学就会一用就废.