Python信號處理：快速傅里葉變換(FFT)，短時傅里葉變換(STFT)，窗函數，以及濾波

摘要：一直以來都是用MATLAB做信號處理，得到預處理的特徵後再用Python進一步應用神經網絡之類的方法。這裏將MATLAB中的FFT、STFT、加窗以及帶通濾波通過Python接口實現，防止以後MATLAB用不了了，一定程度上也提高了效率，不用兩個軟件換來換去。

系列目錄

1. Python信號處理：快速傅里葉變換(FFT)，短時傅里葉變換(STFT)，窗函數，以及濾波
2. Python信號處理：自相關函數(對標MATLAB中的autocorr)
3. Python信號處理：波束形成及目標方位估計，CBF、MVDR
4. Python信號處理：cvxpy工具包求解稀疏約束優化問題

目錄

1. 快速傅里葉變換(FFT)
2. 窗函數對傅里葉變換的影響
3. 兩種信號濾波方式
4. 短時傅里葉變換(STFT)

1. 快速傅里葉變換

FFT的實現主要有兩種方法，分別通過np.fft或scipy.fftpack中的fft實現，實現方法基本是一樣的，以scipy.fftpack.fft爲例。

首先生成一個帶噪聲的信號，頻率爲10、15、20 Hz，採樣率$f_s$=100 Hz，時長2 s。時域波形如下左圖所示。使用scipy.fftpack.fft獲取頻域信號，同時使用scipy.fftpack.fftfreq獲取，信號頻譜如下右圖所示。

X = fftpack.fft(x)           # x爲時域信號
freqs = fftpack.fftfreq(N) * fs  # N爲信號點數，fs爲採樣率

2. 窗函數對傅里葉變換的影響

以凱撒窗np.kaiser(點數，係數)爲例，凱撒窗能抑制旁瓣，但會加寬主瓣。使用時，在fft中對信號加窗即可。下圖給出不同係數的凱撒窗對主瓣和旁瓣的影響。可以看到，加窗後旁瓣受到抑制，但主瓣變寬。通過調整係數，可以改變凱撒窗的窗口。

X = fftpack.fft(np.kaiser(N, 6) * x)

3. 兩種信號濾波方式

A. 通過FFT和IFFT進行濾波

先對信號進行FFT，然後保留想要的頻率，將不要的頻率都設爲0，再將頻譜進行IFFT得到濾波後的時域波形。

def filter1(signal, freq, freqs):
    """利用FFT進行濾波。
    # Arguments
    #   signal: 帶噪聲的時域信號
    #   freq: 想要的頻率
    #   freqs: 信號頻率
    # Return
    #   y: 濾波後的時域信號
    """
    X = fftpack.fft(signal)
    index_freq = [np.where(i == freqs)[0][0] for i in freq]
    index_zeros = np.setdiff1d(np.arange(0, len(freqs)), index_freq)
    X[index_zeros] = 0
    y = fftpack.ifft(X)
    return y

y = filter1(x, [10, 15, 20], freqs)

濾波後的時域信號及其頻譜如下圖所示。

B. 通過butter和filtfilt進行濾波

使用scipy.signal.butter通過截至頻率獲取濾波器係數，利用scipy.signal.filtfilt進行濾波。假設頻率爲10、15、20 Hz，採樣率$f_s$=100 Hz，時長2 s的時域信號，截止頻率爲10和20 Hz。

wl = 2 * (10 - 1) / fs
wh = 2 * (20 + 1) / fs
b, a = signal.butter(8, [wl ,wh], 'bandpass')  #8表示濾波器的階數
filtedData = signal.filtfilt(b, a, x)

濾波後的時域信號及其頻譜如下圖所示。

4. 短時傅里葉變換

有scipy.signal.stft和scipy.signal.spectrogram兩個類似的方法，區別在於後者返回的是能量，前者返回的是頻譜，差一個絕對值的平方。

兩者接口參數如下：

• scipy.signal.stft（x，fs=1.0，window='hann'，nperseg=256，noverlap=None，nfft=None，detrend=False，return_onesided=True，boundary ='zeros'，padded=True，axis=-1 ）

• scipy.signal.spectrogram(x, fs=1.0, window=('tukey', 0.25), nperseg=None, noverlap=None, nfft=None, detrend=’constant’, return_onesided=True, scaling=’density’, axis=-1, mode=’psd’)

常用參數從左往右依次爲：信號、採樣率、窗、每段長度、重疊長度、FFT點數、消除趨勢，兩者基本都是一樣的。