空間幾何變換知識點——摘自《機器視覺研究與發展》趙彭

    空間幾何變換與機器視覺有着密切的關係，是研究機器視覺的重要數學工具之一。空間幾何變換主要包括射影變換、仿射變換、比例變換、歐氏變換等，各種變換的不變量性質在機器視覺中也具有重要的作用。

1 齊次座標

    用n+1維矢量表示一個n維矢量。

    優越性：（1）提供了用矩陣運算把二維、三維甚至高維空間中的一個點集從一個座標系變換到另一個座標系的有效方法。（2）可以表示無窮遠點。

2 射影變換

    射影變換（projective transformation）是一種最爲廣義的線性變換。

    射影變換中用非齊次座標表示的變換關係是非線性的。

三維射影空間中齊次座標表示的變換矩陣：

   Tp = p11 p12 p13 p14

        p21 p22 p23 p24

        p31 p32 p33 p34

        p41 p42 p43 p44

    Tp共有16參數，但用一個非零的比例因子歸一，因此有15個自由度。  

3 仿射變換

    仿射變換（affine transformation）是射影變換的特例，是一類重要的線性幾何變換。在射影變換中，射影中心平面變爲無限遠處時，射影變換就變成了仿射變換。

    非齊次座標表示的射影變換爲非線性變換，而仿射變換爲線性變換。

    三維仿射空間，仿射變換矩陣用齊次表示爲：

   Ta = a11 a12 a13 a14

        a21 a22 a23 a24

        a31 a32 a33 a34

        0   0   0   1 

因此，仿射變換矩陣中有12個自由度。

4 比例變換

比例變換（ratio of transformation）是帶有一個比例因子的歐氏變換（Euclidean transformation，歐幾里得變換，簡稱歐氏變換）。

三維空間中比例變換矩陣用齊次表示爲：

     Tm = k*r11  k*r12  k*r13   t11

          k*r21  k*r22  k*r23   t21

          k*r31  k*r32  k*r33   t31

            0      0     0       1

r(i,j)組成一個正交矩陣，它是一個旋轉矩陣，有3個自由度，k爲比例因子，或稱爲縮放因子。因此比例變換共7個自由度，其中3個旋轉，3個平移和1個比例因子。比例變換不改變物體空間的形狀，只是改變大小，所以有時將比例變換稱爲相似變換。

5 歐氏變換

歐氏變換（Euclidean transformation）是在歐氏空間進行的變換，與比例變換很類似，只是比例因子取1。歐氏變換有6個自由度，即三個旋轉、三個平移。

三維空間中歐氏變換矩陣用齊次表示爲：

   Te = r11 r12 r13 t11

        r21 r22 r23 t21

        r31 r32 r33 t31

         0   0   0   1

歐氏變換代表了在歐氏空間中的剛體運動或剛體變換。

 

綜上所述：仿射變換是透視變換的特例，比例變換是仿射變換的特例，而歐氏變換又是比例變換的特例。