Lacus定理—-求較大組合數

之前介紹的費馬小定理，用來處理$C(n,m)$組合數取模$p$，要求$p$爲質數，$n,m$小於$1e5$（應該是受階乘數組限制，$1e6$差不多也行）

當$n、m$達到1e8、1e10甚至更大的時候怎麼辦呢？這時候就需要Lacus定理。

Lacus定理

重點：可以解決$n、m$比較大，$p$爲質數且較小的組合數問題
（我看這個博客講的比較簡單，一眼就能懂）

性質：
A、B是非負整數，p是質數。AB寫成p進制：A=a[n]a[n-1]…a[0]，B=b[n]b[n-1]…b[0]。
則組合數C(A,B)與C(a[n],b[n])C(a[n-1],b[n-1])…*C(a[0],b[0]) modp同餘

即：Lucas(n,m,p)=c(n%p,m%p)*Lucas(n/p,m/p,p) （遞歸基礎）

非常簡單，上代碼：

/*
 * @Author: hesorchen
 * @Date: 2020-04-14 10:33:26
 * @LastEditTime: 2020-06-26 23:51:44
 * @Link: https://hesorchen.github.io/
 */
#include <map>
#include <set>
#include <list>
#include <queue>
#include <deque>
#include <cmath>
#include <stack>
#include <vector>
#include <cstdio>
#include <string>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
#define endl '\n'
#define PI acos(-1)
#define PB push_back
#define ll long long
#define INF 0x3f3f3f3f
// #define mod 1000000007
#define pll pair<ll, ll>
#define lowbit(abcd) (abcd & (-abcd))
#define max(a, b) ((a > b) ? (a) : (b))
#define min(a, b) ((a < b) ? (a) : (b))

#define IOS                      \
    ios::sync_with_stdio(false); \
    cin.tie(0);                  \
    cout.tie(0);
#define FRE                              \
    {                                    \
        freopen("in.txt", "r", stdin);   \
        freopen("out.txt", "w", stdout); \
    }

inline ll read()
{
    ll x = 0, f = 1;
    char ch = getchar();
    while (ch < '0' || ch > '9')
    {
        if (ch == '-')
            f = -1;
        ch = getchar();
    }
    while (ch >= '0' && ch <= '9')
    {
        x = (x << 1) + (x << 3) + (ch ^ 48);
        ch = getchar();
    }
    return x * f;
}
//==============================================================================
ll jc[100100];
#define mod 12347        // 必須爲質數
ll quick_pow(ll a, ll b) //快速冪
{
    ll res = 1;
    while (b)
    {
        if (b & 1)
            res = res * a % mod;
        a = a * a % mod;
        b /= 2;
    }
    return res % mod;
}
void fjc() // 預處理階乘
{
    jc[0] = 1;
    for (int i = 1; i <= mod; i++)
        jc[i] = jc[i - 1] * i % mod;
}
ll C(ll n, ll m) //lacus定理
{
    return jc[n] * quick_pow(jc[m], mod - 2) % mod * quick_pow(jc[n - m], mod - 2) % mod;
}
ll lucas(ll a, ll b) //遞歸求組合數
{
    if (a % mod < b % mod) //!=========================這個還不清楚爲什麼要這樣
        return 0;
    else if (a < mod && b < mod)
        return C(a, b);
    else
        return (C(a % mod, b % mod) % mod * lucas(a / mod, b / mod));
}
int main()
{
    fjc();
    ll t;
    cin >> t;
    while (t--)
    {
        ll n, m;
        cin >> n >> m;
        cout << lucas(n, m) % mod << endl;
    }
    return 0;
}