POJ 1946(三維DP)

http://poj.org/problem?id=1946

　　題意：有N頭奶牛，要跑D圈，每頭奶牛的初始能量爲E，每頭牛每分鐘可以跑任意圈，除領跑的奶牛外，每跑x圈，消耗能量爲x，領跑的奶牛消耗的能量爲x*x，能量消耗盡的奶牛隨時退場，問至少有一頭奶牛能去到終點所用的最短時間。

　　思路：dp[i][j][k]表示前i-1頭奶牛都已耗盡能量或者中途離場，現在第i頭奶牛已經跑了j圈且已經消耗了k的能量，假設，當前奶牛繼續以l圈/分鐘的速度跑一分鐘，則狀態dp[i][j+l][k+l*l] = dp[i][j][k] + 1，（j+l <= D，j+l*l <= E），當然，狀態是否轉移，要判斷轉移後所消耗時間是否更小。其次，每頭奶牛可以在任何時候隨時退場，輪到下一頭奶牛領跑，所以還有一個特別點的轉移方式，dp[i+1][j][j] = dp[i][j][k]，主要理解的是能量的變化，因爲第i+1頭奶牛剛剛領跑，之前一共跟跑了j圈，所以已經消耗的能量是j，而且換領隊是不需要消耗時間的，當然是否轉移也是要判斷一下大小的，詳見代碼。

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#define inf 1e9
using namespace std;
 
int dp[30][110][110];
// dp[i][j][k]：第i頭奶牛領跑，共跑了j圈，共消耗能量k，的最少時間
int main() {
    int N, E, D;
    while(cin>>N>>E>>D) {
        for(int i = 0; i <= N; ++i) {
            for(int j = 0; j <= D; ++j)
                for(int k = 0; k <= E; ++k)
                    dp[i][j][k] = inf;
        }
        dp[1][0][0] = 0;   // 初始條件
        for(int i = 1; i <= N; ++i) {
            for(int j = 0; j <= D; ++j) {
                for(int k = 0; k <= E; ++k) {
                    // 枚舉i、j、k，當dp[i][j][k]有意義時，進行狀態轉移
                    if(dp[i][j][k] == inf) continue;
                    for(int l = 1; l + j <= D && l*l + k <= E; ++l)
                    // 枚舉奶牛以每分鐘跑l圈的速度，注意總圈數和初始能量的限制即可
                        dp[i][j+l][k+l*l] = min(dp[i][j+l][k+l*l], dp[i][j][k] + 1);
                    // 這裏還有一個重要的轉移! 當前奶牛退出比賽輪到下一頭奶牛領跑。
                    // 注意能量變化，下頭奶牛已經跑了j圈，初始能量消耗也應該爲j
                    dp[i+1][j][j] = min(dp[i+1][j][j], dp[i][j][k]);
                }
            }
        }
        // 找出跑完N圈的最少時間，如果跑不完dp[N][D][0] = 0，不需特判
        int Min = inf;
        for(int i = 0; i <= E; ++i)
            Min = min(Min, dp[N][D][i]);
        cout<<Min<<endl;
    }
    return 0;
}