NC13884 Paint Box(容斥)

题目链接

题意：
$共有n个空盒子，m种颜色$
$为盒子涂色使得相邻颜色不同$
$并且恰好涂了k种不同颜色$
$问有多少种涂色方案~mod~1e9+7$
题解：
$n,m<=1e9,k<=1e6$
$恰好的问题，一般转换成至少或者不超过然后用容斥去做$
$要转换的问题就是不超过用k种颜色的涂色方案$
$那么就是涂一个颜色，每个颜色与其上一个颜色不同$
$这样算出就是k*(k-1)^{n-1}$
$但是当前的问题是不超过的方案数$
$所以需要用容斥进行转换成恰好$
$即减去用不超过k-1种颜色的方案数$
$加上不超过k-2种颜色的方案数$
$…………直到1种颜色为止$

$但现在有了另一个问题$
$他的总颜色数不止k个，有m个颜色$
$所以想要做到这个操作需要从m个中选出k个$
$那么就是结果乘上C_m^k$
$但是m这个数较大，不能进行预处理的数组来求得$
$k比较小，可以通过组合数的定义求得$

AC代码

/*
    Author:zzugzx
    Lang:C++
    Blog:blog.csdn.net/qq_43756519
*/
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define fi first
#define se second
#define pb push_back
#define mp make_pair
#define all(x) (x).begin(),(x).end()
#define endl '\n'
#define SZ(x) (int)x.size()
typedef long long ll;
typedef pair<int, int> pii;
typedef pair<ll, ll> pll;
typedef pair<double,double> pdd;
const int mod=1e9+7;
//const int mod=998244353;
const double eps = 1e-10;
const double pi=acos(-1.0);
const int maxn=1e6+10;
const ll inf=0x3f3f3f3f;
const int dir[8][2]={{0,1},{1,0},{0,-1},{-1,0},{1,1},{1,-1},{-1,1},{-1,-1}};

ll fact[maxn],inv1[maxn];
ll Pow(ll a, ll b){
	ll ans = 1;
	while(b > 0){
		if(b & 1){
			ans = ans * a % mod;
		}
		a = a * a % mod;
		b >>= 1;
	}
	return ans;
}
//逆元
ll inv(ll b){
    return Pow(b,mod-2)%mod;
}
ll C(ll n,ll m){
    if(m>n||n<0||m<0)return 0;
    if(m==0||m==n) return 1;
    ll res=(fact[n]*inv1[m]%mod*inv1[n-m])%mod;
    return res;
}

void init() {
	fact[0] = 1;
	for (int i = 1; i < maxn; i++) {
		fact[i] = fact[i - 1] * i %mod;
	}
	inv1[maxn - 1] = Pow(fact[maxn - 1], mod - 2);
	for (int i = maxn - 2; i >= 0; i--) {
		inv1[i] = inv1[i + 1] * (i + 1) %mod;
	}
}
int main()
{
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0);cout.tie(0);
    //freopen("in.txt","r",stdin);
    //freopen("out.txt","w",stdout);
    init();
    int _;
    cin>>_;
    while(_--){
        ll n,m,k;
        cin>>n>>m>>k;
        ll ans=0;
        for(int i=0,cur=1;i<k;i++,cur=-cur)
            ans=(ans+cur*C(k,k-i)*(k-i)%mod*Pow(k-i-1,n-1)%mod+mod)%mod;
        for(int i=0;i<k;i++)
            ans=ans*(m-i)%mod*inv(k-i)%mod;
        cout<<ans<<endl;
    }
    return 0;
}